Оценка компонентов тензора инерции малого космического аппарата

Толық мәтін

Обоснование. Для успешного увода космического мусора с околоземной орбиты важно знать параметры, инерционно-массовые характеристики малого аппарата. В данной работе представлена математическая модель рассчета тензора инерции, характеристики вращательного движения и их сравнение.

Цель — оценка компонентов тензора инерции аппарата с помощью измерений датчиков магнитометра.

Методы. Предложение способа оценки компонентов тензора инерции космического аппарата и параметров его вращательного движения путем закрепления на объекте космического мусора элементов информационно-измерительной системы (магнитометра). Проведение моделирования для общего и частного случая крепления средств измерения на объекте космического мусора. Подвести результаты численного моделирования для частного случая с оценкой компонентов тензора инерции и вращательного движения для малого космического аппарата «Аист-2Д». Провести анализ полученных результатов и дать рекомендации по их использованию.

Известные параметры аппарата (1 — масса, 2 — осевые моменты инерции, 3 — максимальный момент):

1. m = 530 kg
2. Ixx = 175 kg · m²

Iyy = 200 kg · m²

Izz = 285 kg · m²

3. M = 0.2 N·m

Рассмотрим общий случай крепления, когда строительная система координат магнитометра прикреплена произвольно относительно системы координат аппарата, и математическую модель для данного случая.

Производная компонентов вектора индукции  ${\overrightarrow{\omega }}_k=\frac{{\dot{\overrightarrow{B}}}_k\times {\overrightarrow{B}}_{k-1}}{{\left|\Delta {\overrightarrow{B}}_k\right|}^2}$. (1)

Уравнение (1) в системе координат магнитометра:

$\left\{\begin{array}{l}{\omega }_{xk}=\frac{{\dot{B}}_{yk}{B}_{zk-1}-{\dot{B}}_{zk}{B}_{yk-1}}{\Delta t_k\left({\dot{B}}_{xk}^2+{\dot{B}}_{yk}^2+{\dot{B}}_{zk}^2\right)};\\ {\omega }_{yk}=\frac{{\dot{B}}_{zk}{B}_{xk-1}-{\dot{B}}_{xk}{B}_{zk-1}}{\Delta t_k\left({\dot{B}}_{xk}^2+{\dot{B}}_{yk}^2+{\dot{B}}_{zk}^2\right)};\\ {\omega }_{zk}=\frac{{\dot{B}}_{xk}{B}_{yk-1}-{\dot{B}}_{yk}{B}_{xk-1}}{\Delta t_k\left({\dot{B}}_{xk}^2+{\dot{B}}_{yk}^2+{\dot{B}}_{zk}^2\right)}.\end{array}\right.$ (2)

Динамическое уравнение Эйлера:

$\left\{\begin{array}{l}{I}_{xx}{\dot{\omega }}_{xk}-I_{xy}{\dot{\omega }}_{yk}-I_{xz}{\dot{\omega }}_{zk}+{\omega }_{yk}\left(I_{zz}{\omega }_{zk}-I_{xz}{\omega }_{xk}-I_{yz}{\omega }_{yk}\right)-{\omega }_{zk}\left(I_{yy}{\omega }_{yk}-I_{xy}{\omega }_{xk}-I_{yz}{\omega }_{zk}\right)=M_x\\ I_{yy}{\dot{\omega }}_{yk}-I_{xy}{\dot{\omega }}_{xk}-I_{yz}{\dot{\omega }}_{zk}+{\omega }_{zk}\left(I_{xx}{\omega }_{xk}-I_{xy}{\omega }_{yk}-I_{xz}{\omega }_{zk}\right)-{\omega }_{xk}\left(I_{zz}{\omega }_{zk}-I_{xz}{\omega }_{xk}-I_{yz}{\omega }_{yk}\right)=M_y.\\ I_{zz}{\dot{\omega }}_{zk}-I_{xz}{\dot{\omega }}_{xk}-I_{yz}{\dot{\omega }}_{yk}+{\omega }_{xk}\left(I_{yy}{\omega }_{yk}-I_{xy}{\omega }_{xk}-I_{yz}{\omega }_{zk}\right)-{\omega }_{yk}\left(I_{xx}{\omega }_{xk}-I_{xy}{\omega }_{yk}-I_{xz}{\omega }_{zk}\right)=M_z\end{array}\right.$. (3)

Тензор инерции:

$\hat{I}=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{xy}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{xz}& I_{yz}& I_{zz}\end{array}\right]$. (4)

Но для более детализированного рассмотрения данной задачи перейдем к частному случаю крепления магнитометра, концепция которого заключается в параллельном креплении строительной системы координат относительно главной системы координат аппарата.

Преобразованное (3) уравнение:

$\left\{\begin{array}{l}{I}_{xx}{\dot{\omega }}_{xk}+{\omega }_{yk}{\omega }_{zk}\left(I_{zz}-I_{yy}\right)=M_x\\ I_{zz}{\dot{\omega }}_{zk}+{\omega }_{xk}{\omega }_{yk}\left(I_{yy}-I_{xx}\right)=M_z\\ I_{yy}{\dot{\omega }}_{yk}+{\omega }_{xk}{\omega }_{zk}\left(I_{xx}-I_{zz}\right)=M_y\end{array}\right.$ (5)

выражаем диагональные составляющие тензора инерции

$\left\{\begin{array}{l}{I}_{zz}=\frac{M_z{\dot{\omega }}_{zk}+M_x{\omega }_{xk}{\omega }_{zk}-\left(M_y{\dot{\omega }}_{xk}-M_x{\omega }_{xk}{\omega }_{yk}\right){\displaystyle \frac{{\omega }_{xk}{\omega }_{zk}^2-{\omega }_{zk}{\omega }_{yk}{\dot{\omega }}_{xk}}{{\dot{\omega }}_{xk}{\dot{\omega }}_{yk}+{\omega }_{xk}{\omega }_{yk}{\omega }_{zk}^2}}}{{\dot{\omega }}_{xk}{\dot{\omega }}_{zk}+{\omega }_{xk}{\omega }_{zk}^2+\left({\omega }_{xk}{\omega }_{yk}^2-{\omega }_{zk}{\omega }_{yk}{\dot{\omega }}_{xk}\right){\displaystyle \frac{{\omega }_{xk}{\omega }_{zk}^2-{\omega }_{zk}{\omega }_{yk}{\dot{\omega }}_{xk}}{{\dot{\omega }}_{xk}{\dot{\omega }}_{yk}+{\omega }_{xk}{\omega }_{yk}{\omega }_{zk}^2}}};\\ I_{yy}=I_{zz}\frac{{\omega }_{xk}{\omega }_{zk}^2+{\omega }_{xk}{\omega }_{yk}{\omega }_{zk}^2+M_y{\dot{\omega }}_{xk}-M_x{\omega }_{xk}{\omega }_{yk}}{{\dot{\omega }}_{xk}{\dot{\omega }}_{yk}+{\omega }_{xk}{\omega }_{yk}{\omega }_{zk}^2+{\dot{\omega }}_{xk}{\dot{\omega }}_{zk}+{\omega }_{xk}{\omega }_{zk}{\omega }_{yk}^2};\\ I_{xx}=\frac{M_x+{\omega }_{yk}{\omega }_{zk}\left(I_{yy}-I_{zz}\right)}{{\dot{\omega }}_{xk}}.\end{array}\right.$ (6)

С помощью теоремы Штейнера записываем тензор инерции.

$\hat{I}=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& 0& 0\\ 0& I_{yy}+m{a}^2& 0\\ 0& 0& I_{zz}+m{a}^2\end{array}\right]$. (7)

Результаты. Предложены графики изменения параметров вращательного движения и главных диагональных составляющих тензора инерции.

На графиках изменения компонентов вектора угловой скорости в режиме переориентации (рис. 1, б) мы можем проследить заметные резкие отклонения на отрезке [–0,9; 1,1], это может быть связано с моментом, который придали аппарату. В режиме стабализации сильные скачки наблюдаются по оси ОY [–0,5; 0,6].

Рис. 1. Зависимости компонентов вектора угловой скорости в системе координат магнитометра: а — в режиме стабилизации; б — в режиме переориентации; ωx (черный); ωy (голубой); ωz (красный)

Значения диагональных компонентов тензора инерции на графиках (рис. 2) совпадают с изначально известными значениями, только по оси ОY наблюдается отклонение.

Рис. 2. Зависимости диагональных компонентов тензора в системе координат магнитометра в режиме стабилизации: а — Ixx; б — Iyy; в — Izz

На графиках (рис. 3) в режиме переориентации можно наблюдать минимальное количество резких колебаний, значения совпадают с известными. Точность этих графиков связана с моментом, который придается аппарату в режиме переориентации, по значению превышающий все возмущающие факторы.

Рис. 3. Зависимости диагональных компонентов тензора в системе координат магнитометра в режиме переориентации: 1 — Ixx; 2 — Iyy; 3 — Izz

Вывод. В результате получена оценка диагональных компонентов тензора инерции в частном случае крепления. В качестве управляемого воздействия на малый аппарат были выбраны средние значения возмущающих факторов (в режиме стабилизации) и моменты двигателей-маховиков (в режиме переориентации). Результаты работы могут быть использованы при оценке инерционно-массовых характеристик компонентов тензора инерции объектов космического мусора.

Авторлар туралы

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: ucernova803@gmail.com

студент, группа 1205-010303D, институт авиационной и ракетно-космической техники

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар

Әрекет

1. JATS XML

Жүктеу

2. Рис. 1. Зависимости компонентов вектора угловой скорости в системе координат магнитометра: а — в режиме стабилизации; б — в режиме переориентации; ωx (черный); ωy (голубой); ωz (красный)

Жүктеу (166KB)

Метадеректер

3. Рис. 2. Зависимости диагональных компонентов тензора в системе координат магнитометра в режиме стабилизации: а — Ixx; б — Iyy; в — Izz

Жүктеу (160KB)

Метадеректер

4. Рис. 3. Зависимости диагональных компонентов тензора в системе координат магнитометра в режиме переориентации: 1 — Ixx; 2 — Iyy; 3 — Izz

Жүктеу (125KB)

Метадеректер