Нахождение коэффициентов разложения полей напряжений в окрестности вершин двух коллинеарных трещин в анизотропных средах с помощью переопределенного метода

Полный текст

Обоснование. Изучение стационарного состояния и распространения трещин в анизотропных материалах актуально из-за широкого применения последних в авиации, энергетике и строительстве. Анизотропия материальных свойств влияет на распространение трещин, усложняя прогноз прочности и долговечности конструкций. Исследования напряженно-деформированного состояния в анизотропных материалах помогают разрабатывать надежные методы диагностики, предотвращения аварий и проектирования, учитывающие уникальные свойства материалов [1–6].

Цель — анализ влияния регулярных слагаемых на описание полей напряжений, деформаций и перемещений в окрестности вершины трещины в анизотропных линейно упругих материалах; оценка точности усеченных асимптотических рядов, описывающих поля напряжений, деформаций и перемещений в области вершины дефекта в бесконечной ортотропной пластине; создание и реализация процедуры переопределенного метода нахождения коэффициентов рядов, представляющих напряжения, деформации и перемещения у вершины трещины.

Методы. Асимптотическое решение М. Уильямса (1), описывающее напряжения и деформации у вершины центральной трещины, в бесконечной пластине, к которой приложена растягивающая нагрузка, а также его обобщение для анизотропных линейно упругих материалов, служит наиболее удобным аналитическим инструментом для изучения механических полей около вершин трещин и угловых вырезов в плоских задачах механики разрушения [2–4]. В практических целях данные ряды обычно ограничиваются конечным числом членов ряда. Предполагается, что увеличение количества учитываемых слагаемых ряда способствует более точному описанию напряжений вблизи вершины трещины:

${\sigma }_{ij}(r,\theta )=\sum _{m=1}^2\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k^m{r}^{\frac{k}{2}-1}{f}_{m,ij}^{\left(k\right)}\left(\theta \right)$, (1)

где ${\sigma }_{ij}$ – компоненты тензора напряжений второго ранга, $r,\theta$ – полярные координаты, $a_k^m$ – коэффициенты ряда, являющиеся функциями приложенной нагрузки и отвечающими за конфигурации образца.

Для вычисления коэффициентов ряда (1), характеризующего поле напряжений в задаче о растяжении анизотропной плоскости с двумя горизонтальными коллинеарными трещинами, применен переопределенный метод, опирающийся на результаты конечно-элементного моделирования в программной среде Simulia Abaqus.

$A={\left(C^{T}C\right)}^{-1}{C}^T\sum _{}$, (2)

где $A$ — вектор-столбец, состоящий из разыскиваемых амплитудных множителей, $a_k^m$, $C$ — матрица, состоящая из известных угловых функций, зависящих от компонент тензора напряжений, $\sum _{}$ — вектор-строка, состоящая из вычисленных методом конечных элементов значений компонент тензора напряжений.

Классический алгоритм переопределенного метода [5] базируется на анализе компонент вектора перемещений вблизи вершины трещины, что требует учета перемещений тела как абсолютно твердого тела. В данной работе предложен новый подход, использующий компоненты тензора напряжений для нахождения амплитудных коэффициентов в окрестности дефекта, что значительно упрощает вычислительный процесс.

Результаты. На основе метода конечных элементов и разложений в степенные ряды развит и реализован усовершенствованный переопределенный метод для вычисления амплитудных коэффициентов в плоской постановке задачи.

В данной работе применялся материал типа перовскит, тензор модулей упругости которого представлен на рис. 1.

Рис. 1. Тензор модулей упругости материала типа перовскит

Коэффициент интенсивности напряжений равен $K_I=\sigma \sqrt{\mathrm{\pi a}}\sin \left(\alpha \right)=182$ Па·см^–1/2, Т — напряжение $T=\sigma [{\cos }^2\left(\alpha \right)+Re({\mu }_1{\mu }_2){\sin }^2\left(\alpha \right)+Re({\mu }_1+{\mu }_2\left)\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)\right]=-75$ Па.

На рис. 2 показаны результаты конечно-элементного моделирования нагружения анизотропной пластины в пакете SIMULIA Abaqus.

Рис. 2. Распределения напряжений и интенсивности напряжений для двух коллинеарных трещин

На рис. 3 представлены угловые распределения напряжений правой трещины в окрестности левой вершины в пластине с двумя коллинеарными трещинами при нормальном отрыве, полученные на основе многопараметрического разложения (1), ограниченного разным числом членов ряда. Асимптотическое разложение (1) обеспечивает сходимость ряда в пределах радиуса сходимости. При этом анализ ошибки, допускаемой при усечении ряда с удержанием различного числа слагаемых, показывает, что усеченные ряды также способны точно описывать поля напряжений с увеличением количества удерживаемых слагаемых. Это свойство иллюстрируется графиками угловых распределений напряжений на рис. 2, где сопоставлены результаты последовательных усеченных решений для напряжений с данными, полученными методом конечных элементов.

Рис. 3. Угловые распределения напряжений в окрестности вершины z = 0,8 мм

Выводы. В работе проанализирован вклад регулярных членов асимптотического решения М. Уильямса, выражающего механические поля у вершин двух горизонтальных коллинеарных трещин в анизотропной пластине. На основе решения переопределенной системы уравнений определены масштабные коэффициенты для рассматриваемой конфигурации образца.

Об авторах

Мария Александровна Фомченкова

Автор, ответственный за переписку.
Email: fomchenkova.ma@ssau.ru

студентка, группа 4255-010403D, механико-математический факультет

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Тензор модулей упругости материала типа перовскит

Скачать (23KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Распределения напряжений и интенсивности напряжений для двух коллинеарных трещин

Скачать (147KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Угловые распределения напряжений в окрестности вершины z = 0,8 мм

Скачать (202KB)

Метаданные