Несеточный метод решения краевых задач для уравнения Лапласа в односвязной и двусвязной областях
- Authors: 1
-
Affiliations:
- Самарский государственный технический университет
- Issue: Vol 1 (2024)
- Pages: 202-202
- Section: ЧАСТЬ I. Математика
- URL: https://vietnamjournal.ru/osnk-sr2024/article/view/632799
- ID: 632799
Cite item
Full Text
Abstract
Обоснование. Требуется провести анализ численного метода, который основан на разложении решений краевых задач по системам неортогональных функций, полученных из фундаментальных функций основного дифференциального оператора граничной задачи. Этап построения решения — приближенное решение интегрального уравнения первого рода, сингулярного вблизи границы.
Цель — дополнение результатов, полученных в [1, 2], сравнение с результатами, полученными методом конечных элементов.
Методы. Границы области, где задано уравнение в частных производных, аппроксимируются точками на вспомогательных контурах, оптимально отстоящих от основной границы. Это помогает «погасить» сингулярность интегрального уравнения. Устойчивость в пространстве L2 приближенного решения интегрального уравнения вблизи границы доказана в [3]. Для дискретизации интегралов используется метод Гаусса. Метод конечных элементов применяется для сравнения, как альтернативный.
Результаты. Вычислительные эксперименты проведены для первой внутренней граничной задачи для уравнения Лапласа. В задаче для односвязной области, границей которой являлся эллипс с параметрами a = 1, b = 0,5, подбор вспомогательного контура и увеличение числа узлов до 64 позволили увеличить точность решения до 1.0E-05. Точность выше 1.0E-05 можно достичь, используя метод конечных элементов c 298 внутренними и 40 граничными элементами. В задаче для двусвязной области — в кольце с радиусами R1 = 1, R2 = 2, подбор вспомогательных контуров и число узлов, равное 40, позволяют получить внутри кольца точность 1.0E-06, однако при приближении к границе точность снижается до 1.0E-01 (рис. 1). С увеличением числа узлов квадратурной формулы для определения следа функции, определяемого из интегрального уравнения, возрастает число обусловленности матрицы СЛАУ.
Рис. 1. Погрешность решения краевой задачи в кольце в зависимости от выбора вспомогательных контуров
Выводы. Выбор оптимальных вспомогательных контуров и увеличение узлов квадратурной формулы позволяет получить приближенные решения краевых задач в односвязной и двусвязной областях с достаточной точностью. Увеличение числа узлов квадратурных формул увеличивает числа обусловленности СЛАУ, полученных при дискретизации интегральных уравнений, поэтому требуется применение регулирующих алгоритмов. Метод конечных элементов для достижения требуемой точности требует большого числа узлов сетки.
Full Text
Обоснование. Требуется провести анализ численного метода, который основан на разложении решений краевых задач по системам неортогональных функций, полученных из фундаментальных функций основного дифференциального оператора граничной задачи. Этап построения решения — приближенное решение интегрального уравнения первого рода, сингулярного вблизи границы.
Цель — дополнение результатов, полученных в [1, 2], сравнение с результатами, полученными методом конечных элементов.
Методы. Границы области, где задано уравнение в частных производных, аппроксимируются точками на вспомогательных контурах, оптимально отстоящих от основной границы. Это помогает «погасить» сингулярность интегрального уравнения. Устойчивость в пространстве L2 приближенного решения интегрального уравнения вблизи границы доказана в [3]. Для дискретизации интегралов используется метод Гаусса. Метод конечных элементов применяется для сравнения, как альтернативный.
Результаты. Вычислительные эксперименты проведены для первой внутренней граничной задачи для уравнения Лапласа. В задаче для односвязной области, границей которой являлся эллипс с параметрами a = 1, b = 0,5, подбор вспомогательного контура и увеличение числа узлов до 64 позволили увеличить точность решения до 1.0E-05. Точность выше 1.0E-05 можно достичь, используя метод конечных элементов c 298 внутренними и 40 граничными элементами. В задаче для двусвязной области — в кольце с радиусами R1 = 1, R2 = 2, подбор вспомогательных контуров и число узлов, равное 40, позволяют получить внутри кольца точность 1.0E-06, однако при приближении к границе точность снижается до 1.0E-01 (рис. 1). С увеличением числа узлов квадратурной формулы для определения следа функции, определяемого из интегрального уравнения, возрастает число обусловленности матрицы СЛАУ.
Рис. 1. Погрешность решения краевой задачи в кольце в зависимости от выбора вспомогательных контуров
Выводы. Выбор оптимальных вспомогательных контуров и увеличение узлов квадратурной формулы позволяет получить приближенные решения краевых задач в односвязной и двусвязной областях с достаточной точностью. Увеличение числа узлов квадратурных формул увеличивает числа обусловленности СЛАУ, полученных при дискретизации интегральных уравнений, поэтому требуется применение регулирующих алгоритмов. Метод конечных элементов для достижения требуемой точности требует большого числа узлов сетки.
About the authors
Самарский государственный технический университет
Author for correspondence.
Email: umm97@list.ru
студент, группа 4-ИАиИТ-10М; Институт автоматики и информационных технологий
Russian Federation, СамараReferences
- Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. Москва: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1963. 472 с.
- Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. Москва: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1991. 352 с.
- Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. Москва: Наука, 1979.
Supplementary files
