СОПРОВОЖДАЮЩАЯ МАТРИЦА СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛИНОМОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ УЗЛОВ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В заметке приводится новая формула для сопровождающей матрицы суперпозиции двух полиномов над коммутативным кольцом. Полученные результаты используются для проведения конструктивного доказательства теоремы Планса для двухмостовых узлов, которая утверждает, что первая группа гомологий нечетнолистного циклического накрытия трехмерной сферы, разветвленного над заданным узлом, является прямой суммой двух экземпляров некоторой абелевой группы. Аналогичный результат верен и для гомологий четнолистных накрытий, профакторизованных по приведенной группе гомологий двулистного накрытия. Структура указанных абелевых слагаемых описываются через полиномы Чебышёва второго и четвертого рода.

Об авторах

А. Д Медных

Институт математики им С.Л. Соболева СО РАН; Новосибирский государственный университет

Email: smedn@mail.ru
Новосибирск, Россия

И. А Медных

Институт математики им С.Л. Соболева СО РАН; Новосибирский государственный университет

Email: ilyamednykh@mail.ru
Новосибирск, Россия

Г. К Соколова

Институт математики им С.Л. Соболева СО РАН; Новосибирский государственный университет; Новосибирский государственный технический университет

Email: g.sokolova@g.nsu.ru
Новосибирск, Россия

Список литературы

  1. Bini D.A., Pan V.Y. Polynomial and Matrix Computations // Fundamental Algorithms. Birkhauser. Boston. MA. 1994. V. 1.
  2. Davis P.J. Circulant Matrices. New York: AMS Chelsea Publishing. 1994.
  3. Noferini V., Williams G. Matrices in companion rings, Smith forms, and the homology of 3-dimensional Brieskorn manifolds // J. Algebra. 2021. V 587. P. 1-19. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2021.07.018
  4. Plans A. Aportacion al estudio de los grupos de homologia de los recubrimientos ciclicos ramificados correspondiente a un nudo // Rev. R. Acad. Cienc. Exactas, Fis. Nat. Madr. 1953. V. 47. P. 161-193.
  5. Del Val P., Weber C. Plans’ theorem for links // Topol. Appl. 1990. V. 34. P. 247-255. https://doi.org/10.1016/0166-8641(90)90041-Y
  6. Gordon C. McA. A short proof of a theorem of Plans on the homology of the branched cyclic coverings of a knot // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V. 168. P. 85-87. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1971-12611-3
  7. Stevens W.H. On the Homology of Branched Cyclic Covers of Knots // LSU Historical Dissertations and Theses. 1996. doi: 10.31390/gradschool_disstheses.6282
  8. Vaserstein L.N., Wheland E. Commutators and Companion Matrices over Rings of Stable Rank 1 // Linear Algebra Appl. 1990. V. 142. P. 263-277. doi: 10.1016/0024-3795(90)90270-M
  9. Brand L. The companion matrix and its properties // Amer. Math. Monthly. 1964. V. 71. N. 6. P. 629-634. doi: 10.1080/00029890.1964.11992294
  10. Lancaster P., Tismenetsky M. The Theory of Matrices. Second Edition with Applications. San Diego: Academic press. 1985.
  11. Mason J.C., Handscomb D.C. Chebyshev Polynomials. Boca Raton: CRC Press, 2003.
  12. Nakanishi Y., Suketa M. Alexander polynomials of two-bridge knots // J. Austral. Math. Soc. (Series A). 1996. V. 60. P. 334-342. https://doi.org/10.1017/S1446788700037848
  13. Murasugi K. On the Alexander polynomial of the alternating knot // Osaka J. Math. 1958. V. 10. P. 181-189.
  14. Hartley R.I. On two-bridged knot polynomials // J. Austral. Math. Soc. (Series A). 1979. V. 28. P. 241-249. https://doi.org/10.1017/S1446788700015743
  15. Schubert H. Knoten mit zwei Bracken // Math. Z. 1956. V. 65. V. P. 133-170.
  16. Cattabriga A., Mulazzani M. Strongly-cyclic branched coverings of (1, 1)-knots and cyclic presentations of groups // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 2003. V. 135. N. 1. P. 137-146. https://doi.org/10.1017/S0305004103006686
  17. Fox R.H. Free Differential Calculus III. Subgroups // Ann. Math. 1956. V. 64 N. 3. P. 407-419.
  18. Mednykh I.A. Homology group of branched cyclic covering over a 2-bridge knot of genus two. Preprint. 2021. arXiv:2111.04292 [math.CO].
  19. Seifert H. Uber das Geschlecht von Knoten // Math. Ann. 1934. V. 110. P. 571-592.
  20. Kutateladze S.S. Fundamentals of functional analysis. Netherlands: Springer Science and Business Media, 2013.
  21. Reidemeister K. Knotentheorie. New York: Chelsea Pub. Co., NewYork, 1948.
  22. Raymond Lickorish W.B. An Introduction to Knot Theory. New York: Springer, 1997.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025