РАЦИОНАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА С ОКРУГЛЕНИЕМ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Вычисления на компьютере в плавающей арифметике всегда являются приближенными. Напротив, вычисления в рациональной арифметике (например, в компьютерной алгебре) всегда абсолютно точны и воспроизводимы как на других компьютерах, так и (теоретически) вручную. Поэтому такие вычисления могут быть доказательными в том смысле, что доказательство, полученное с их помощью, ничем не отличается от традиционного. Однако обычно такие вычисления в достаточно сложной задаче невозможны ввиду ограниченности ресурсов памяти и времени. Мы предлагаем механизм округления рациональных чисел при расчетах в рациональной арифметике, который решает эту проблему (ресурсов), т.е. вычисления по-прежнему могут быть доказательными, но уже не требуют неограниченных ресурсов. Приведен ряд примеров реализации стандартных численных алгоритмов в этой арифметике. Результаты имеют приложения к аналитической теории чисел. Библ. 22. Фиг. 3.

Об авторах

В. П Варин

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Email: varin@keldysh.ru
Москва, Россия

Список литературы

  1. Borwein J., Bailey D., Gigensohn R. Experimentation in Mathematics: computational paths to discovery. A K Peters, Natick. 2004.
  2. Арнольд В. И. Экспериментальная математика. М.: ФАЗИС, 2005.
  3. Hammer R., et.al. Numerical Toolbox for Verified Computing I. Springer, 1993.
  4. Appel K., Haken W. Solution of the Four Color Map Problem // Scientific American. 1977. V. 237. N 4. P. 108–121.
  5. Рухович Ф. Д. Внешние биллиарды вне правильных многоугольников: ручной случай // Изв. РАН. Сер. матем. 2022. Т. 86. No 3. С. 105–160.
  6. Варин В. П. Преобразование последовательностей в доказательствах иррациональности некоторых фундаментальных констант // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. N 10. С. 1587–1614.
  7. Варин В. П. Аппроксимация дифференциальных операторов с учетом граничных усло- вий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. N 8. С. 1251–1271.
  8. Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Гостехиздат, 1961.
  9. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984.
  10. Hairer, et. al. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. 2nd ed. Berlin, Springer. 1993.
  11. Weniger E. J. Nonlinear sequence transformations for the acceleration of convergence and the summation of divergent series // Comput. Phys. Rep. North-Holland. Amsterdam, 1989. V. 10. P. 189–371.
  12. Brent R. P. Computation of the Regular Continued Fraction for Euler’s Constant // Math. of Comput. 1977. V. 31. No 139. P. 771–777.
  13. Serret M. J.-A. Oeuvres de Lagrange. Vol. 2. Gauthier-Villars. Paris. (M DCCC LXVIII).
  14. Брюно А. Д. Разложение алгебраических чисел в цепные дроби // Ж. вычисл. матем. и ма- тем. физ. 1964. Т. 4. No 2. С. 211–221.
  15. Knuth D. E. The Art of Computer Programming. 3rd ed. Vol. 2. 1998. Addison Wesley Longman.
  16. Haas A. The relative growth rate for partial quotients // New York J. Math. 2008. V. 14. P. 139–143.
  17. Roth K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. V. 2. Part 1. No 3. P. 1–20.
  18. Stark H. M. An explanation of some exotic continued fractions found by Brillhart // in: A.O.L. Atkin, B.J. Birch (ed.), Computers in Number Theory. Science Research Council Atlas Symposium N 2. Oxford, Academic Press, 1971.
  19. Lévy P. Sur le lois de probabilité dont dépendent les qoutients complets et incomplets d’une fraction continue // Bull. Scc. Math. 1929. V. 57. P. 178–194.
  20. Borwein J., et. al. Neverending Fractions. An Introduction to Continued Fractions. Australian Mathematical Society Lecture Series: 23. 2014.
  21. Brun V. Ein Satz über Irrationalität // Arkiv for Mathematik og Naturvidenskab (Kristiania), 1910. V. 31. No 3. P. 3–6.
  22. Butler L. A. A useful application of Brun’s irrationality criterion // Expo. Math. 2015. V. 33. P. 121–134.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024