“Паразитные” собственные значения спектральных задач для оператора Лапласа с краевыми условиями третьего типа

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Рассматриваются спектральные задачи для оператора Лапласа с условиями Робэна и Стеклова (третьими краевыми) на гладкой границе плоской области. Эти условия содержат малый параметр и коэффициент “неправильного” знака, вызывающий появление отрицательных собственных значений. Подобные задачи и собственные значения, называемые “паразитными”, возникают в вычислительных схемах при моделировании регулярной вариации границ (малых неравномерных сдвигов вдоль нормали) посредством возмущений дифференциальных операторов в краевых условиях. Построена и обоснована асимптотика некоторых паразитных собственных значений и получены априорные оценки, способствующие выяснению их положения на вещественной оси и влияния на погрешности моделирования. Библ. 47.

Об авторах

С. А. Назаров

Институт проблем машиноведения РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

  1. Hadamard J. Mémoire sur le problème d’analyse relatif à l’équilibre des plaques élastiques encastrées // 1968. Œuvres V. 2. P. 515–631.
  2. Sokolowski J., Zolésio J.-P. Introduction to Shape Optimization. Shape Sensitivity Analysis. Springer Ser. Comput. Math. V. 16. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
  3. Delfour M.C., Zolésio J.-P. Shapes and Geometries. Analysis, Differential Calculus, and Optimization. Adv. Design and Control, V. 4. Philadelphia: Soc. Indust. Appl. Math. (SIAM), 2001.
  4. Kawohl B. Some nonconvex shape optimization problems. In: Optimal Shape Design (Tróia, 1998). Lect. Not. Math. V. 1740. Berlin: Springer, 2000. P. 7–46.
  5. Henrot A. Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators. Front. Math. Basel: Birkhäuser Verlag, 2006.
  6. Kozlov V. On the Hadamard formula for nonsmooth domains // J. Diff. Equat. 2006. V. 230. P. 532–555.
  7. Kozlov V.A., Nazarov S.A. On the Hadamard formula for second order systems in non-smooth domains // Comm. Part. Different. Equat. 2012. V. 37. P. 901–933.
  8. Назаров С.А. Двучленная асимптотика решений спектральных задач с сингулярными возмущениями // Матем. сб. 1990. Т. 181. № 3. С. 291–320.
  9. Назаров С.А. Асимптотическое моделирование упругих тел с поврежденными или упрочненными поверхностями // Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 5. С. 611–616.
  10. Назаров С.А. Асимптотика решений и моделирование задач теории упругости в области с быстроосциллирующей границей // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72. № 3. С. 103–158.
  11. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. Санкт-Петербург. матем. общества. 1998. Т. 6. С. 151–212.
  12. Назаров С.А. Моделирование сингулярно возмущенной спектральной задачи при помощи самосопряженных расширений операторов предельных задач // Функц. анализ и его приложения. 2015. Т. 49. № 1. С. 31–48.
  13. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
  14. Levitin M., Parnovski L. On the principal eigenvalue of a Robin problem with a large parameter // Math. Nachr. 2008. V. 281. № 2. P. 272–281.
  15. Pankrashkin K. On the asymptotics of the principal eigenvalue problem for a Robin problem with a large parameter in a planar domain // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 2013. V. 4. № 4. P. 474–483.
  16. Exner P., Minakov A., Parnovski L. Asymptotic eigenvalue estimates for a Robin problem with a large parameter // Port. Math. 2014. V. 71. № 2. P. 141–156.
  17. Pankrashkin K., Popoff N. An effective Hamiltonian for the eigenvalue asymptotics of the Robin Laplacian with a large parameter // J. Math. Pures Appl. 2016. V. 106. P. 615–650.
  18. Helffer B., Kachmar A. Eigenvalues for the Robin Laplacian in domains with variable curvature // Trans. Am. Math. Soc. 2017. V. 369. P. 3253–3287.
  19. Helffer B., Kachmar A. Semi-classical edge states for the Robin Laplacian // Mathematika. 2022. V. 68. P. 454–485.
  20. Камоцкий И.В., Назаров С.А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // Пробл. матем. анализа. Вып. 19. Новосибирск: Науч. книга, 1999. С. 105–148.
  21. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math. 2009. V. 170. P. 337–354.
  22. Назаров С.А. Асимптотика отрицательных собственных чисел задачи Дирихле при плотности переменного знака // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 27. М.: Изд-во МГУ, 2009. С. 235–275.
  23. Nazarov S.A., Pankratova I.L., Piatnitski A.L. Homogenization of the spectral problem for periodic elliptic operators with sign-changing density function // Arch. Ration. Mech. Anal. 2011. V. 200. № 3. P. 747–788.
  24. Chesnel L., Claeys X., Nazarov S.A. Spectrum of a diffusion operator with coefficient changing sign over a small inclusion // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. 2015. V. 66. P. 2173–2196.
  25. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  26. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. № 3. С. 3–80.
  27. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. № 4. С. 27–95.
  28. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. V. 15. № 2. P. 238–242.
  29. Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincaré. Anal. Non Linèaire. 2009. V. 26. № 2. P. 547–560.
  30. Borisov D., Freitas P. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in // J. Funct. Anal. 2010. V. 258. № 3. P. 893–912.
  31. Nazarov S.A., Perez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunctions in thin non-smooth domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2016. V. 368. № 7. P. 4787–4829.
  32. Pankrashkin K. On the Robin eigenvalues of the Laplacian in the exterior of a convex polygon // Nanosyst. Phys. Chem. Math. 2015. V. 6. P. 46–56.
  33. Pankrashkin K. On the discrete spectrum of Robin Laplacians in conical domains // Math. Model. Nat. Phenom. 2016. V. 11. № 2. P. 100–110.
  34. Khalile M., Ourmières-Bonafos T., Pankrashkin K. Effective operators for Robin eigenvalues in domains with corners // Ann. Institut Fourier. 2020. V. 70. P. 2215–2301.
  35. Daners D. Robin boundary problems on arbitrary domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. V. 352. № 9. P. 4207–4236.
  36. Daners D. A Faber–Krahn inequality for Robin problems in any space dimansion // Math. Ann. 2006. V. 335. № 4. P. 767–785.
  37. Назаров С.А., Таскинен Я. О спектре задачи Стеклова в области с пиком // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 1. С. 56–65.
  38. Nazarov S.A., Taskinen J. Spectral anomalies of the Robin Laplacian in non-Lipschitz domains // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 2013. V. 20. P. 27–90.
  39. Nazarov S.A., Taskinen J. “Blinking eigenvalues” of the Steklov problem generate the continuous spectrum in a cuspidal domain // J. Different. Equat. 2020. V. 269. № 4, 5. P. 2774–2797.
  40. Nazarov S.A., Popoff N., Taskinen J. Plummeting and blinking eigenvalues of the Robin Laplacian in a cuspidal domain // Proceed. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A Math. 2019. P. 1–23.
  41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (релятивиская теория). М.: Наука, 1974. 752 с.
  42. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 264 с.
  43. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 9. С. 1654–1660.
  44. Назаров С.А. Метод Вишика–Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. 1. Задача в конусе // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 4. С. 142–163.
  45. Назаров С.А. Метод Вишика–Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. 2. Задача в ограниченной области // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 5. С. 132–152.
  46. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  47. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск : Науч. книга, 2002.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© С.А. Назаров, 2023