Nonlinear forces and second-order motion amplitudes acting on a systematic series of ships

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Методы расчёта качки судов, базирующиеся на трёхмерной потенциальной теории, использовали в своих работах многие исследователи, такие как B. Molin [1], который в 1979 г. на основе теоремы Грина представил собственную методику, успешно положив начало исследованиям и расчётам нелинейных сил второго порядка в трёхмерной среде. Среди многочисленных исследований, на которые он опирался, были и предложения T.F. Ogilvie [2]. В своей работе 1963 г. T.F. Ogilvie представил и решил проблему нелинейных колебаний второго порядка буровой платформы. В его работе приведены необходимые граничные условия второго порядка, выражения для нелинейных реакций, а также дифференциальные уравнения различных видов колебаний. Теория T.F. Ogilvie является фундаментальной для последующих исследований [2].

P.D. Sclavounos [3] ввёл два новых типа функций Грина, названных радиационными функциями Грина. В отличие от обычных функций Грина, используемых в предыдущих теориях, первый из новых типов был предложен для задач вынужденных колебаний, вторая функция Грина предназначена для решения задач дифракции.

Разработанный Sclavounos подход деликатно обходит необходимость решения сложных систем интегральных уравнений. Тем не менее в своей публикации автор представил исключительно теоретические рассуждения, не подкреплённые сопоставлением с экспериментальными данными или конкретными результатами [3].

Исследования C.H. Lee и соавт. [4, 5], посвящённые решению пространственных задач с использованием метода интегральных уравнений, представляют особый интерес. В своей работе они использовали метод интегральных уравнений для решения трёхмерных задач, что позволило им получить некоторые выводы на основе непосредственного определения потенциалов второго порядка. В теории C.H. Lee [4] отмечается, что главная сложность расчёта потенциалов второго порядка методом интегральных уравнений заключается в корректном определении второй части граничных условий на смоченной поверхности и свободной поверхности, а именно — вторых производных. «Прямой» метод решения имеет свою цену — сложный вычислительный процесс, чем и объясняется популярность «непрямого» метода B. Molin [1] среди многих исследователей.

Ещё одним значительным результатом усовершенствования методов трёхмерной потенциальной теории стали исследования A.D. Papanikolaou и G.N. Zaraphonitis [6–8]. В их работе определение нелинейных сил также основывалось на методе интегральных уравнений с учётом нелинейных граничных условий.

Работа Д.А. Альбаева [9] посвящена решению трёхмерной задачи качки судна как в бесконечно-глубокой жидкости, так и в жидкости ограниченной глубины. В данной работе определены нелинейные силы второго порядка, действующие на судно во время качки как на регулярном волнении, так и на нерегулярном.

Цель исследования

Изучение влияния изменения длины судов масштабной серии на амплитуды нелинейной качки.

ОПИСАНИЕ РАСЧЁТНОГО МЕТОДА

В рамках настоящего исследования для моделирования поставленной задачи применяются три системы координат, характерных для расчётов качки судна (рис. 1). Предполагается, что для описания потенциала движения жидкости необходимо выполнение уравнения Лапласа. Данное уравнение должно быть дополнено кинематическими и динамическими граничными условиями на двух основных рассматриваемых поверхностях — смоченной и свободной.

 

Рис. 1. Системы координат.

Fig. 1. Coordinate systems.

 

Основная цель предпринятой работы заключается в вычислении амплитуд нелинейной качки. При этом учтены эффекты воздействия нелинейных сил. Расчёты базируются на программном обеспечении, разработанном Д.А. Альбаевым.

Уравнение Лапласа:

$\frac{{\partial }^2\text{Φ}}{\partial {\text{ξ}}^2}+\frac{{\partial }^2\text{Φ}}{\partial {\text{η}}^2}+\frac{{\partial }^2\text{Φ}}{\partial {\text{ζ}}^2}=0$ . (1)

Объединённое кинематическое и динамическое граничное условие на свободной поверхности [10]:

$\frac{{\partial }^2\text{Φ}}{\partial {\text{t}}^2}+g\frac{\partial \text{Φ}}{\partial \text{t}}-2U\frac{{\partial }^2\text{Φ}}{\partial t\partial \text{ξ}}+U^2\frac{{\partial }^2\text{Φ}}{\partial {\text{ξ}}^2}+2\nabla \text{Φ}\nabla \left(\frac{\partial \text{Φ}}{\partial \text{t}}-\text{U}\frac{\partial \text{Φ}}{\partial \text{ξ}}\right)+\frac{1}{2}\nabla \text{Φ}\nabla \left(\nabla \text{Φ}\cdot \nabla \text{Φ}\right)=0$ . (2)

Кинематическое граничное условие на смоченной поверхности судна:

$\frac{\partial \text{Φ}}{\partial n}={\overrightarrow{V}}_0\cdot \overrightarrow{N}+\left({\overrightarrow{R}}_0\times \overrightarrow{N}\right)\cdot \overrightarrow{\mathrm{\omega }}$ . (3)

И граничное условие на бесконечности:

$\sqrt{\left({\text{ξ}}^2+{\text{η}}^2\right)}\to \infty ,\text{Φ}\to {\text{Φ}}_0,\text{ ζ}\to -\infty ,\text{gradΦ}\Rightarrow 0$ . (4)

Далее, потенциал представляется с точностью до второго порядка малости и должен удовлетворять условию непротекания для потенциала второго порядка и условию на свободной поверхности.

Потенциалы с точностью до второго порядка малости:

${\text{Φ}}_{\text{j}}{\text{=ε}}_{\text{j}}{\text{Φ}}_{\text{j}}^{\left(\text{1}\right)}{\text{+ε}}_{\text{j}}^{\text{2}}{\text{Φ}}_{{\text{jj}}_{\text{1}}}^{\left(\text{2}\right)}{\text{+ε}}_{\text{j}}^{\text{2}}{\text{Φ}}_{{\text{jj}}_{\text{2}}}^{\left(\text{2}\right)}\text{, j=1}\mathrm{...}\text{7}$. (5)

Условие непротекания для потенциала второго порядка:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\text{Φ}}_{\text{j}}^{\left(\text{2}\right)}}{dn}\text{= }n\left({\overline{X}}^{\left(\text{1}\right)}\cdot \nabla \right)\nabla {\text{Φ}}_j^{\left(\text{1}\right)}\text{+}\frac{\partial H}{\partial t}r\text{+}\left(V^{\left(\text{1}\right)}\text{ – }\nabla {\text{Φ}}_j^{\left(\text{1}\right)}\right)N^{\left(\text{1}\right)}\text{+}{V}^{\left(\text{2}\right)}n\text{, (}j\text{= 1…6).}\\ \frac{d{\text{Φ}}_{\text{7}}^{\left(\text{2}\right)}}{dn}\text{ = –}\frac{d{\text{Φ}}_{\text{0}}^{\left(\text{2}\right)}}{dn}\text{.}\end{array}\right.$ (6)

${\overline{X}}^{\left(\text{1}\right)}\text{=}\left\{\begin{array}{c}{\text{ξ}}_g^{\left(\text{1}\right)}\text{ + }\left({\text{ψ}}^{\left(\text{1}\right)}z{\text{ – χ}}^{\left(\text{1}\right)}y\right)\\ {\text{η}}_g^{\left(\text{1}\right)}\text{ – }\left({\text{θ}}^{\left(\text{1}\right)}z{\text{ – χ}}^{\left(\text{1}\right)}x\right)\\ {\text{ζ}}_{\text{g}}^{\left(\text{1}\right)}\text{ + }\left({\text{θ}}^{\left(\text{1}\right)}y{\text{ – ψ}}^{\left(\text{1}\right)}x\right)\end{array}\right\}\text{; }{V}^{\left(\text{1}\right)}\text{=}\left\{\begin{array}{c}{\dot{\text{ξ}}}_g^{\left(\text{1}\right)}\text{ + }\left({\dot{\text{ψ}}}^{\left(\text{1}\right)}z\text{ – }{\dot{\text{χ}}}^{\left(\text{1}\right)}y\right)\\ {\dot{\text{η}}}_g^{\left(\text{1}\right)}\text{ – }\left({\dot{\text{θ}}}^{\left(\text{1}\right)}z\text{ – }{\dot{\text{χ}}}^{\left(\text{1}\right)}x\right)\\ {\dot{\text{ξ}}}_g^{\left(\text{1}\right)}\text{ + }\left({\dot{\text{θ}}}^{\left(\text{1}\right)}y\text{ – }{\dot{\text{ψ}}}^{\left(\text{1}\right)}x\right)\end{array}\right\}$ ; (7)

$V^{\left(\text{2}\right)}\text{=}\left\{\begin{array}{c}{\dot{\text{ξ}}}_g^{\left(\text{2}\right)}\text{ + }\left({\dot{\text{ψ}}}^{\left(\text{2}\right)}z\text{ – }{\dot{\text{χ}}}^{\left(\text{2}\right)}y\right)\\ {\dot{\text{η}}}_g^{\left(\text{2}\right)}\text{ – }\left({\dot{\text{θ}}}^{\left(\text{2}\right)}z\text{ – }{\dot{\text{χ}}}^{\left(\text{2}\right)}x\right)\\ {\dot{\text{ξ}}}_g^{\left(\text{2}\right)}\text{ + }\left({\dot{\text{θ}}}^{\left(\text{2}\right)}y\text{ – }{\dot{\text{ψ}}}^{\left(\text{2}\right)}x\right)\end{array}\right\}\text{; }{N}^{\left(\text{1}\right)}\text{=}\left\{\begin{array}{c}{\text{ψ}}^{\left(\text{1}\right)}\text{cos}\left(n\text{, }z\right){\text{-χ}}^{\left(\text{1}\right)}\text{cos}\left(n\text{, }y\right)\\ {\text{-θ}}^{\left(\text{1}\right)}\text{cos}\left(n\text{, }z\right){\text{+χ}}^{\left(\text{1}\right)}\text{cos}\left(n\text{, }x\right)\\ {\text{θ}}^{\left(\text{1}\right)}\text{cos}\left(n\text{, }y\right){\text{-ψ}}^{\left(\text{1}\right)}\text{cos}\left(n\text{, }x\right)\end{array}\right\}$ ; (8)

$H\text{ = –}\frac{\text{1}}{\text{2}}\left(\begin{array}{ccc}{\text{ψ}}^{\text{2}}{\text{ + χ}}^{\text{2}}& \text{0}& \text{0}\\ \text{–2θψ}& {\text{θ}}^{\text{2}}{\text{ + χ}}^{\text{2}}& \text{0}\\ \text{–2θχ}& \text{–2ψχ}& {\text{θ}}^{\text{2}}{\text{ + ψ}}^{\text{2}}\end{array}\right)$ . (9)

Условие на свободной поверхности:

$\frac{\partial {\text{Φ}}^{\left(\text{2}\right)}}{\partial z}\text{ – }\frac{{\text{4ω}}^{\text{2}}}{g}{\text{Φ}}^{\left(\text{2}\right)}\text{ = –}\frac{\text{iω}}{g}{\left(\nabla {\text{Φ}}^{\left(\text{1}\right)}\right)}^{\text{2}}\text{+ }\frac{i\text{ω}}{\text{2}g}{\text{Φ}}^{\left(\text{1}\right)}\left(\frac{{\partial }^{\text{2}}{\text{Φ}}^{\left(\text{1}\right)}}{\partial z^{\text{2}}}\text{ – }\frac{{\text{ω}}^{\text{2}}}{g}\frac{\partial {\text{Φ}}^{\left(\text{1}\right)}}{\partial z}\right)$. (10)

Определение потенциала второго порядка, осуществляется на основании решения системы интегральных уравнений с использованием функции Грина.

$\text{–}\frac{\text{1}}{\text{2}}{\text{Φ}}_{j{j}_{\text{1}}}^{\left(\text{2}\right)}\left(x\text{, }y\text{, z}\right)\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{4π}}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}{\text{Φ}}_{j{j}_{\text{1}}}^{\left(\text{2}\right)}\left(\text{ξ, η, ζ}\right)\frac{\partial G^{\left(\text{2}\right)}}{\partial n}d\text{Ω = }\frac{\text{1}}{\text{4π}}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}{Q}_{Bjj}{G}^{\left(\text{2}\right)}d\text{Ω + }\frac{\text{1}}{\text{4π}}\underset{S_F}{\overset{}{}}{\text{Q}}_{Fjj}{G}^{\left(\text{2}\right)}d{S}_F$ , (11)

$G^{\left(\text{2}\right)}\left(x\text{, }y\text{, }z\text{, ξ, η, ζ}\right)\text{ = }\frac{\text{1}}{r}\text{ + }\frac{\text{1}}{r_{\text{1}}}\text{ + 8}\nu \underset{\text{0}}{\overset{\infty }{}}\frac{e^{k\left(z\text{ + ζ}\right)}}{k\text{ – 4}\nu }{J}_{\text{0}}\left(kR\right)dk\text{ + }i\text{8π}\nu e^{\text{4}\nu \left(z\text{ + ζ}\right)}{J}_{\text{0}}\left(\text{4}\nu R\right)$ . (12)

Определение нелинейных сил второго порядка осуществляется на основании следующих формул (13)–(15):

$F^{\left(2\right)}=\text{ρ}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(2\right)}}{\partial t}\overrightarrow{n}d\text{Ω }++\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\left\{\begin{array}{c}\left[{\text{ξ}}_g+\left(\text{ψ}z-\text{χ}y\right)\right]\frac{{\partial }^2{\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t\partial \text{ξ}}+\left[{\text{η}}_g-\left(\text{θ}z-\text{χ}x\right)\right]\frac{{\partial }^2{\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t\partial \text{η}}+\\ +\left[{\text{ζ}}_g+\left(\text{θ}y-\text{ψ}x\right)\right]\frac{{\partial }^2{\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t\partial \text{ζ}}\end{array}\right\}\overrightarrow{n}d\text{Ω}+$

$+\frac{\text{ρ}}{2}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\left[{\left(\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial \text{ξ}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial \text{η}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial \text{ζ}}\right)}^2\right]\overrightarrow{n}\text{dΩ}+\text{ρ}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\left[g\left({\text{ζ}}_g-\text{ψ}x+\text{θ}y\right)+\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t}\right]\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{n}\right)d\text{Ω}-\frac{1}{2}\underset{WL}{\overset{}{}}{z}_W^2\overrightarrow{n}d\text{l}.$ (13)

$M^{\left(2\right)}=\text{ρ}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(2\right)}}{\partial t}\left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{n}\right)d\text{Ω}++\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\left\{\begin{array}{c}\left[{\text{ξ}}_g+\left(\text{ψ}z-\text{χ}y\right)\right]\frac{{\partial }^2{\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t\partial \text{ξ}}+\left[{\text{η}}_g-\left(\text{θ}z-\text{χ}x\right)\right]\frac{{\partial }^2{\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t\partial \text{η}}+\\ +\left[{\text{ζ}}_g+\left(\text{θ}y-\text{ψ}x\right)\right]\frac{{\partial }^2{\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t\partial \text{ζ}}\end{array}\right\}\left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{n}\right)d\text{Ω}+$

$\begin{array}{l}+\frac{\text{ρ}}{2}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\left[{\left(\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial \text{ξ}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial \text{η}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial \text{ζ}}\right)}^2\right]\left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{n}\right)d\text{Ω }+\\ +\text{ρ}\underset{\text{Ω}}{\overset{}{}}\left[g\left({\text{ζ}}_g-\text{ψ}x+\text{θ}y\right)+\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t}\right]\left[\overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{n}\right)\right]d\text{Ω}-\frac{1}{2}\underset{WL}{\overset{}{}}{\text{z}}_W^2\left[\overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{n}\right)\right]d\text{l,}\end{array}$ (14)

где:

$z_W=-\frac{1}{g}\frac{\partial {\text{Φ}}_{}^{\left(1\right)}}{\partial t}-{\text{ζ}}_g+x_{WL}\text{ψ}-y_{WL}\text{θ}$ . (15)

Определение амплитуд второго порядка производится на основании решения системы дифференциальных уравнений:

 (16)

где:

${\text{ξ}}_g^{\left(2\right)}={\text{ξ}}_{g_0}^{\left(2\right)}\sin \left(2{\text{ω}}_{k}t+{\text{δ}}_{\text{ξ}}^{\left(2\right)}\right);{\text{ η}}_g^{\left(2\right)}={\text{η}}_{g_0}^{\left(2\right)}\sin \left(2{\text{ω}}_{k}t+{\text{δ}}_{\text{η}}^{\left(2\right)}\right)$ ;

${\text{ζ}}_g^{\left(2\right)}={\text{ζ}}_{g_0}^{\left(2\right)}\sin \left(2{\text{ω}}_{k}t+{\text{δ}}_{\text{ζ}}^{\left(2\right)}\right);{\text{ θ}}_g^{\left(2\right)}={\text{θ}}_0^{\left(2\right)}\sin \left(2{\text{ω}}_{k}t+{\text{δ}}_{\text{θ}}^{\left(2\right)}\right)$ ; (17)

${\text{ψ}}_g^{\left(2\right)}={\text{ψ}}_0^{\left(2\right)}\sin \left(2{\text{ω}}_{k}t+{\text{δ}}_{\text{ψ}}^{\left(2\right)}\right);{\text{ χ}}_g^{\left(2\right)}={\text{χ}}_0^{\left(2\right)}\sin \left(2{\text{ω}}_{k}t+{\text{δ}}_{\text{χ}}^{\left(2\right)}\right)$ .

Хорошо известен факт, что во время бортовой качки значительное влияние оказывают силы вязкостной природы. Поэтому даже трёхмерная потенциальная теория не пригодна для расчёта коэффициентов присоединённых масс и демпфирования. С целью учёта влияния вязкостного эффекта рекомендуется использование различных эмпирических формул, таких как формулы Н.А. Николаева, В.А. Мореншильдт или Г.К. Авдеева – В.Н. Анфимова. В настоящей работе были использованы формулы Г.К. Авдеева – В.Н. Анфимова [11]:

${\text{λ}}_{44}=\frac{J_{xx}}{\mathrm{0,28}+\frac{\mathrm{1,8}{\text{ρ}}_x}{\text{α}B\left(1+\frac{1}{6}\frac{B}{T}\right)}}-J_{xx};{\text{ ρ}}_x=\sqrt{\frac{J_{xx}g}{D}}$. (18)

Относительный коэффициент демпфирования при квадратичном законе:

$w=\mathrm{0,24}+\mathrm{1,42}\frac{h_0}{B}{\left(\frac{\text{α}B\left(1+\frac{1}{6}\frac{B}{T}\right)}{4{\text{ρ}}_x^{,}}\right)}^2;{\text{ ρ}}_x^{,}=\sqrt{\frac{\left(J_{xx}+{\text{λ}}_{44}\right)g}{D}}$. (19)

Между квадратичным и линейным коэффициентами демпфирования установлена следующая приблизительная зависимость:

${\overline{\mathrm{\mu }}}_{44}=\mathrm{0,3}\sqrt{w}$. (20)

В теории корабля известно, что при нерегулярном волнении амплитуды определяются по частотным характеристикам суммарных амплитуд всех типов качки. Соответствующие выражения для каждого типа имеют вид:

$\frac{{\text{ξ}}_g^{\text{*}}}{a_W}=\frac{{\text{ξ}}_g^{\left(1\right)}}{a_W}+{\text{ε}}_1\frac{{\text{ξ}}_g^{\left(2\right)}}{a_W};\frac{{\text{η}}_g^{\text{*}}}{a_W}=\frac{{\text{η}}_g^{\left(1\right)}}{a_W}+{\text{ε}}_2\frac{{\text{η}}_g^{\left(2\right)}}{a_W}$ ;

$\frac{{\text{ζ}}_g^{\text{*}}}{a_W}=\frac{{\text{ζ}}_g^{\left(1\right)}}{a_W}+{\text{ε}}_3\frac{{\text{ζ}}_g^{\left(2\right)}}{a_W};\frac{{\text{θ}}_{}^{\text{*}}}{a_W}=\frac{{\text{θ}}_{}^{\left(1\right)}}{a_W}+{\text{ε}}_4\frac{{\text{θ}}_{}^{\left(2\right)}}{a_W}$ ; (21)

$\frac{{\text{ψ}}_{}^{\text{*}}}{a_W}=\frac{{\text{ψ}}_{}^{\left(1\right)}}{a_W}+{\text{ε}}_5\frac{{\text{ψ}}_{}^{\left(2\right)}}{a_W};\frac{{\text{χ}}_{}^{\text{*}}}{a_W}=\frac{{\text{χ}}_{}^{\left(1\right)}}{a_W}+{\text{ε}}_6\frac{{\text{χ}}_{}^{\left(2\right)}}{a_W}$ .

Формулы (21) осуществляют линеаризацию амплитуд всех видов качки и обеспечивают, таким образом, возможность применения спектрального метода, который невозможно использовать при чисто нелинейных характеристиках. Тогда спектральные плотности различных видов качки могут быть рассчитаны следующим образом:

$S_{\text{ξ}}\left(\text{ω}\right)={\left|\frac{{\text{ξ}}_g^{\text{*}}}{a_W}\right|}^2{S}_{{\text{ζ}}_W}\left(\text{ω}\right)$ ;

$S_{\text{η}}\left(\text{ω}\right)={\left|\frac{{\text{η}}_g^{\text{*}}}{a_W}\right|}^2{S}_{{\text{ζ}}_W}\left(\text{ω}\right)$ ;

$S_{\text{ζ}}\left(\text{ω}\right)={\left|\frac{{\text{ζ}}_g^{\text{*}}}{a_W}\right|}^2{S}_{{\text{ζ}}_W}\left(\text{ω}\right)$ (22) ;

$S_{\text{θ}}\left(\text{ω}\right)={\left|\frac{{\text{θ}}_{}^{\text{*}}}{a_W}\right|}^2{S}_{\text{α}}\left(\text{ω}\right)$ ;

$S_{\text{ψ}}\left(\text{ω}\right)={\left|\frac{{\text{ψ}}_{}^{\text{*}}}{a_W}\right|}^2{S}_{\text{α}}\left(\text{ω}\right)$ ;

$S_{\text{χ}}\left(\text{ω}\right)={\left|\frac{{\text{χ}}_{}^{\text{*}}}{a_W}\right|}^2{S}_{\text{α}}\left(\text{ω}\right)$ .

Поскольку объектом данного исследования является жидкость бесконечной глубины, используется спектр Вознесенского–Нецветаева:

$S_{{\text{ζ}}_W}\left(\text{ω},\infty \right)=\frac{\mathrm{9,43}}{\overline{\text{ω}}}\mathrm{0,0358}{h}_{3\text{\%}}^2{\left(\frac{\mathrm{0,777}\overline{\text{ω}}}{\text{ω}}\right)}_{}^6{e}^{-\mathrm{1,5}{\left(\frac{\mathrm{0,777}\overline{\text{ω}}}{\text{ω}}\right)}^4}$. (23)

Наконец может быть получен градиентный спектр волнения:

$S_{\text{α}}\left(\text{ω}\right)={\left(\frac{{\text{ω}}^2}{g}\right)}^2{S}_{{\text{ζ}}_W}\left(\text{ω}\right){\left(\frac{180}{\text{π}}\right)}^2$. (24)

Дисперсии перемещений определяются путём интегрирования соответствующих спектральных плотностей:

$D_{\text{ξ}}=\underset{0}{\overset{\infty }{}}{S}_{\text{ξ}}\left(\text{ω}\right)d\text{ω};D_{\text{η}}=\underset{0}{\overset{\infty }{}}{S}_{\text{η}}\left(\text{ω}\right)d\text{ω}$ ;

$D_{\text{ζ}}=\underset{0}{\overset{\infty }{}}{\text{S}}_{\text{ζ}}\left(\text{ω}\right)d\text{ω};D_{\text{θ}}=\underset{0}{\overset{\infty }{}}{S}_{\text{θ}}\left(\text{ω}\right)d\text{ω}$ ; (25)

$D_{\text{ψ}}=\underset{0}{\overset{\infty }{}}{S}_{\text{ψ}}\left(\text{ω}\right)d\text{ω};D_{\text{χ}}=\underset{0}{\overset{\infty }{}}{S}_{\text{χ}}\left(\text{ω}\right)d\text{ω}$ .

После определения дисперсий производится расчёт максимальных амплитуд качки:

${\text{ξ}}_{g\text{max}}=\mathrm{3,25}\sqrt{D_{\text{ξ}}};{\text{ η}}_{g\text{max}}=\mathrm{3,25}\sqrt{D_{\text{η}}}$ ;

${\text{ζ}}_{g\text{max}}=\mathrm{3,25}\sqrt{D_{\text{ζ}}};{\text{ θ}}_{\text{max}}=\mathrm{3,25}\sqrt{D_{\text{θ}}}$ ; (26)

${\text{ψ}}_{\text{max}}=\mathrm{3,25}\sqrt{D_{\text{ψ}}};{\text{ χ}}_{\text{max}}=\mathrm{3,25}\sqrt{D_{\text{χ}}}$ .

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Расчёты нелинейных сил проводили для масштабной серии судов, состоящей из пяти судов, основные параметры которых приведены в табл. 1. На рис. 2 приведена разбивка смоченной поверхности на треугольные панели одного из судов серии.

 

Таблица 1. Параметры масштабной серии судов

Table 1. Parameters of the systematic series of ships

Параметр	Судно 1	Судно 2	Судно 3	Судно 4	Судно 5
Длина (L), м	50	90	150	200	250
Ширина (B), м	9,89	17,8	29,67	39,56	49,45
T, м	3,045	5,48	9,134	12,18	15,22
Xc , м	0,155	0,28	0,467	0,622	0,778
Xf , м	–2,216	–3,99	–6,65	–8,866	–11,083
Zc , м	1,735	3,124	5,207	6,942	8,678
Zg , м	3,93	7,074	11,79	15,72	19,65
R, м	68,87	123,97	206,62	275,49	344,36
r, м	3,166	5,7	9,501	12,67	15,833

 

Рис. 2. Разбивка смоченной поверхности судна.

Fig. 2. Discretization of the wetted surface of the ship by triangular panels.

 

Расчёты амплитудно-частотных характеристик качки масштабной серии судов в условиях регулярного волнения проводили сначала по линейной теории, потом по нелинейной. Оценивали также силы волнового дрейфа. Все расчёты проводились для нулевой скорости хода и для разных курсовых углов. На рис. 3 и 4 приведены амплитудно-частотные характеристики различных видов качки для случаев волнения лагом и встречного волнения. Анализ результатов показал, что увеличение длины судна без изменения коэффициентов полноты приводит к сдвигу резонансов бортовой и вертикальной качки в зону низких частот. При этом значения максимальных амплитуд существенно не меняются (рис. 3). Амплитуды поперечно-горизонтальной качки при увеличении длины судна значительно уменьшаются.

 

Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики линейных поперечно-горизонтальной (a), вертикальной (b) и бортовой (c) качки судов масштабной серии для β = 90°.

Fig. 3. Amplitude-frequency characteristics of linear transverse-horizontal (a), vertical (b), and rolling (c) motions of ships of a systematic series for β = 90°.

 

Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики линейных продольно-горизонтальной (a), вертикальной (b) и килевой (c) качки судов масштабной серии для β = 180°.

Fig. 4. Amplitude-frequency characteristics of linear longitudinal-horizontal (a), vertical (b) and pitching (c) motion of ships of a systematic series for β = 180°.

 

На встречно регулярном волнении увеличение длины судна приводит к уменьшению амплитуд абсолютно всех видов качки и их сдвигу в зону низких частот (рис. 4).

На рис. 5–7 представлены результаты расчётов амплитудно-частотных характеристик по линейной теории в сравнении с нелинейной для поперечных видов качки в случае волнения лагом. Влияние нелинейных сил второго порядка всегда имеет место в зоне низких частот, примерно в два раза удалённых от зон основных резонансов. Уменьшение длины судна увеличивает влияние нелинейных сил для всех видов качки, кроме этого, приводит к существенному расширению зоны влияния нелинейных факторов. Так, для судна выбранной серии, длина которого составляет 50 м, влияние нелинейности на поперечно-горизонтальную качку составляет 20%, на вертикальную — 30%, амплитуды нелинейной бортовой качки в два раза больше линейных (рис. 7).

 

Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики линейных (LIN) и суммарных (SUM) амплитуд поперечно-горизонтальной качки судов масштабной серии для β = 90°.

Fig. 5. Amplitude-frequency characteristics of linear (LIN) и and total (SUM) amplitudes of transverse-horizontal motion of ships of a systematic series for β = 90.

 

Рис. 6. Амплитудно-частотные характеристики линейных (LIN) и суммарных (SUM) амплитуд вертикальной качки судов масштабной серии для β = 90°.

Fig. 6. Amplitude-frequency characteristics of linear (LIN) и and total (SUM) amplitudes of vertical motion of ships of a systematic series for β = 90°.

 

Рис. 7. Амплитудно-частотные характеристики линейных (LIN) и суммарных (SUM) амплитуд бортовой качки судов масштабной серии для β = 90°.

Fig. 7. Amplitude-frequency characteristics of linear (LIN) и and total (SUM) amplitudes of motion of ships of a systematic series for β = 90°.

 

Анализ результатов расчётов сил волнового дрейфа, для волнения лагом и встречного волнения показал, что независимо от значения курсового угла увеличение длины судна вызывает значительное увеличение сил волнового дрейфа. При этом данное увеличение всегда сопровождается сдвигом максимальных значений в зону низких частот (рис. 8, 9).

 

Рис. 8. Силы дрейфа поперечно-горизонтальной (a), вертикальной (b) и бортовой (c) качки судов масштабной серии для β = 90°.

Fig. 8. Drift forces of transverse-horizontal (a), vertical (b) and rolling (c) motions of ships of a systematic series for β=90°.

 

Рис. 9. Силы дрейфа продольно-горизонтальной (a), вертикальной (b) и килевой (c) качки судов масштабной серии для β = 180°.

Fig. 9. Drift forces of longitudinal-horizontal (a), vertical (b) and pitching (c) motions of ships of a systematic series for β=180°.

 

При выполнении расчётов качки масштабной серии судов на нерегулярном волнении его балльность изменялась от 4 до 8. На рис. 10 приведены амплитуды поперечно-горизонтальной, вертикальной и бортовой качки для волнения лагом, вычисленные по линейной теории в сравнении с расчётами по нелинейной теории. Анализ результатов показал, что, во-первых, из всех видов качки наибольшее влияние нелинейных сил имеет место в случае бортовой качки. Уменьшение длины судна приводит к увеличению данного влияния.

 

Рис. 10. Линейные (L) и нелинейные (NL) амплитуды поперечно-горизонтальной (a), вертикальной (b) и бортовой (c) качки судов масштабной серии для β = 90°.

Fig. 10. Linear (L) and nonlinear (NL) amplitudes of transverse-horizontal (a), vertical (b) and rolling (c) motions of ships of a systematic series for β=90°.

 

Проведены также расчёты качки судов при наличии скорости. Для всех судов число Фруда принималось равным 0,2. Учёт скорости хода при расчёте качки по линейной и нелинейной теории и анализ полученных результатов позволили подтвердить ранее полученные выводы, а именно — уменьшение амплитуд с увеличением длины судна и сдвиг резонанса в область низких частот. Уменьшение длины судна также приводит к увеличению действующих нелинейных сил.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в настоящей работе получены следующие основные результаты:

1. При уменьшении длины судна происходит увеличение амплитуд и сдвиг резонансов в зону высоких частот.
2. Уменьшение длины приводит к росту влияния нелинейных сил. С увеличением длины уменьшается зона влияния нелинейных сил в случае поперечно-горизонтальной, вертикальной и бортовой качки. Влияние нелинейных сил в случае судна с меньшей длиной может превышать 100% для бортовой качки.
3. Увеличение длины судна приводит к увеличению линейных возмущающих сил.
4. Увеличение длины судна приводит к увеличению сил волнового дрейфа и уменьшению их максимумов в зону низких частот.
5. На нерегулярном волнении максимальное влияние нелинейности проявляется на волнении 6–8 баллов и увеличивается с уменьшением длины судна.
6. Наибольшим образом влияние нелинейности проявляется в случае бортовой качки на нерегулярном волнении.
7. Силы волнового дрейфа увеличиваются с увеличением балльности и длины судна.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. В.Ю. Семёнова — определение концепции, валидация, визуализация, пересмотр и редактирование рукописи; Д.А. Альбаев — программное обеспечение, написание черновика рукописи; Сунь Хэчэнь — проведение исследования, визуализация, написание черновика рукописи. Все авторы одобрили рукопись (версию для публикации), а также согласились нести ответственность за все аспекты настоящей работы, гарантируя надлежащее рассмотрение и решение вопросов, связанных с точностью и добросовестностью любой её части.

Источники финансирования. Отсутствуют.

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии отношений, деятельности и интересов за последние три года, связанных с третьими лицами (коммерческими и некоммерческими организациями), интересы которых могут быть затронуты содержанием статьи.

Оригинальность. При проведении исследования и создании настоящей статьи авторы не использовали ранее полученные и опубликованные сведения (данные, текст, иллюстрации).

Доступ к данным. Все данные, полученные в настоящем исследовании, представлены в статье.

Генеративный искусственный интеллект. При создании настоящей статьи технологии генеративного искусственного интеллекта не использовали.

Рассмотрение и рецензирование. Настоящая работа подана в журнал в инициативном порядке и рассмотрена по обычной процедуре. В рецензировании участвовали один внешний рецензент, член редакционной коллегии и главный редактор издания.

ADDITIONAL INFORMATION

Author contributions: V.Yu. Semenova, conceptualization, validation, visualization, writing—review & editing; D.A. Albaev, software, writing—original draft; Sun Hechen, investigation, visualization, writing—original draft. All the authors approved the version of the manuscript to be published and agreed to be accountable for all aspects of the work, ensuring that questions related to the accuracy or integrity of any part of the work are appropriately investigated and resolved.

Funding sources: No funding.

Disclosure of interests: The authors have no relationships, activities, or interests for the last three years related to for-profit or not-for-profit third parties whose interests may be affected by the content of the article.

Statement of originality: No previously obtained or published material (text, images, or data) was used in this study or article.

Data availability statement: All data obtained in this study are available in this article.

Generative AI: No generative artificial intelligence technologies were used to prepare this article.

Provenance and peer review: This paper was submitted unsolicited and reviewed following the standard procedure. The peer review process involved one external reviewer, a member of the Editorial Board, and the Editor-in-Chief.

About the authors

Viktoriya Yu. Semenova

Saint Petersburg State Marine Technical University

Author for correspondence.
Email: sem_viktoria@mail.ru
SPIN-code: 1753-4952

Dr. Sci. (Engineering), Professor, Head of the Department of ship theory

Russian Federation, Saint Petersburg

Danil A. Albaev

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: albaevdanil@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5175-6594
SPIN-code: 8594-4692

Cand. Sci. (Engineering), Associate Professor of the Department of theory of the ship

Russian Federation, Saint Petersburg

Hechen Sun

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: sun.hechen@yandex.ru

Master's student

Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files