Assessment of the effect of slightly curved cracks on the stress-strain state of ship hull structures and welds

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Анализ напряжённо-деформированного состояния судовых корпусных конструкций и сварных швов, содержащих дефекты в виде трещин, на сегодняшний день является критически важной задачей для обеспечения прочности и долговечности морских судов. Особый интерес представляют слабо искривлённые трещины, форма которых наиболее близка к реальным дефектам, возникающим в конструкциях. Точная оценка их влияния на концентрацию напряжений в окрестности вершины трещины необходима для прогнозирования развития разрушения.

Как известно, напряжённо-деформируемое состояние корабельных корпусных конструкций и сварных швов при слабо искривлённых трещинах можно рассматривать в виде задачи о деформации однородной изотропной плоскости, содержащей полубесконечную слабо искривлённую трещину, берега которой свободны от напряжений, а на бесконечности она растягивается одноосным постоянным напряжением [1, 2].

Для прямолинейных трещин классические решения Уильямса [3] и Ирвина [4] дают полное описание полей напряжений в вершине. Однако для криволинейных трещин, особенно слабо искривлённых, влияние кривизны на коэффициент интенсивности напряжений (КИН) изучено недостаточно. Существующие подходы (например, метод весовых функций Бюкнера [5]) требуют адаптации к случаю переменной кривизны.

Цель исследования

Разработать математическую модель и оценить влияние слабой кривизны полубесконечной трещины на локальное напряжённо-деформированное состояние и коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины для судовых корпусных конструкций и сварных швов.

МЕТОДЫ

Постановка задачи

Пусть Ω — плоскость R² с криволинейным разрезом Γ, обладающим малой кривизной εk(s) (ε — малый параметр):

$\mathrm{\Gamma }=\left\{\left.\left(x_1,x_2\right)\right|x_1\le \mathrm{0,}{x}_2=\mathrm{\epsilon }h\left(x_1\right)\right\}$, (1)

где εh(x₁) << 1. Тогда математически постановка задачи сводится к построению поля перемещений, удовлетворяющего системе уравнений Ламе:

$\left\{\begin{array}{l}L\left(\nabla \right)u\left(x_1,x_2\right)=\mathrm{0,}\left(x_1,x_2\right)\in \mathrm{\Omega }\\ {\mathrm{\sigma }}^{\left(2\right)}\left(u;\left(x_1,x_2\right)\right)=\mathrm{0,}\left(x_1,x_2\right)\in \mathrm{\Gamma }\end{array}\right.$ (2)

при заданных краевых условиях:

${\left.{\mathrm{\sigma }}_{x_{\text{1}}{x}_{\text{2}}}\right|}_{\sqrt{x_1^2+x_2^2}\to \infty }=P$. (3)

Система координат, связанная с разрезом

Введём естественную систему координат, связанную с разрезом. Она определяется в дифференциальной геометрии через уравнение линии и её производные и имеет вид (s, n) (s — касательная, n — нормаль к кривой). Система уравнений (2) в координатах (s, n) становится с переменными коэффициентами, зависящими от кривизны и её производной и выглядит следующим образом:

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\mu }}{h_{\text{s}}{h}_{\text{n}}}\left[\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{h_{\text{n}}}{h_{\text{s}}}\frac{\partial v}{\partial s}\right)+\frac{\partial }{\partial n}\left(\frac{h_{\text{s}}}{h_{\text{n}}}\frac{\partial v}{\partial n}\right)\right]+\\ +\frac{\left(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }\right)}{h_{\text{s}}}\left[\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{1}{h_{\text{s}}{h}_{\text{n}}}\frac{\partial }{\partial s}\left(h_{\text{n}}v\right)\right)+\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{1}{h_{\text{s}}{h}_{\text{n}}}\frac{\partial }{\partial n}\left(h_{\text{s}}w\right)\right)\right]=\mathrm{0,}\\ \left(s,n\right)\in \mathrm{\Omega };\end{array}$ (4)

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\mu }}{h_{\text{s}}{h}_{\text{n}}}\left[\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{h_{\text{n}}}{h_{\text{s}}}\frac{\partial w}{\partial s}\right)+\frac{\partial }{\partial n}\left(\frac{h_{\text{s}}}{h_{\text{n}}}\frac{\partial w}{\partial n}\right)\right]+\\ +\frac{\left(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }\right)}{h_{\text{n}}}\left[\frac{\partial }{\partial n}\left(\frac{1}{h_{\text{s}}{h}_{\text{n}}}\frac{\partial }{\partial s}\left(h_{\text{n}}v\right)\right)+\frac{\partial }{\partial n}\left(\frac{1}{h_{\text{s}}{h}_{\text{n}}}\frac{\partial }{\partial n}\left(h_{\text{s}}w\right)\right)\right]=\mathrm{0,}\\ \left(s,n\right)\in \mathrm{\Omega };\end{array}$ (5)

${\mathrm{\sigma }}^{\left(n\right)}\left(u;\left(s,n\right)\right)=\mathrm{0,}\left(s,n\right)\in {\mathrm{\Gamma }}_1$, (6)

где h_s и h_n — коэффициенты Ламе:

$h_{\text{s}}=1+n\epsilon k\left(s\right)$, (7)

$h_{\text{n}}=1$. (8)

u = u(v, w); λ и μ — константы; σ⁽ⁿ⁾ = σn; σ — тензор напряжений; Γ₁ — образ Γ (1) в координатах (s, n).

Метод возмущений

При принятых предположениях о слабой искривлённости разреза возникает малый параметр в коэффициентах системы Ламе (4) и (5). Это позволяет искать решение в виде асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра:

$u\left(s,n\right)=u^0\left(s,n\right)+\mathrm{\epsilon }{u}^1\left(s,n\right)+\dots$ (9)

На нулевом шаге (ε = 0) решение u⁰(s, n) есть решение задачи о плоскости, ослабленной полубесконечной трещиной Γ₁:

$\left\{\begin{array}{l}L\left(\nabla \right)u^0\left(s,n\right)=\mathrm{0,}\left(s,n\right)\in \mathrm{\Omega }\\ {\mathrm{\sigma }}^{\left(n\right)}\left(u^0;\left(s,n\right)\right)=\mathrm{0,}\left(s,n\right)\in {\mathrm{\Gamma }}_1\end{array}\right.$ (10)

Решение задачи (10) при заданных краевых условиях (3) на бесконечности имеет асимптотику [6, 7]

$u^0\left(s,n\right)=\sqrt{r}\left(K_1^0{\mathrm{\Phi }}^{\left(1\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)+K_2^0{\mathrm{\Phi }}^{\left(2\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)+o\left(r^{-1/2}\right)\right)$ ,

где $r\to \infty$; $K_1^0$ и $K_2^0$ — первый и второй коэффициенты интенсивности напряжений; (r, φ) — полярные координаты с центром в вершине разреза, а угол φ изменяется на интервале (–π, π) [3, 8]. Угловые функции и константа χ задаются стандартными выражениями:

${\mathrm{\Phi }}_{\text{r}}^{\left(\text{1}\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)=\frac{\left(2\chi -1\right)\cos \frac{\mathrm{\phi }}{2}-\cos \frac{3\mathrm{\phi }}{2}}{4\mathrm{\mu }\sqrt{2\mathrm{\pi }}}$ ,

${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\phi }}^{\left(1\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)=\frac{\sin \frac{3\mathrm{\phi }}{2}-\left(2\chi +1\right)\sin \frac{\mathrm{\phi }}{2}}{4\mathrm{\mu }\sqrt{2\mathrm{\pi }}}$ ,

${\mathrm{\Phi }}_{\text{r}}^{\left(\text{2}\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)=\frac{3\sin \frac{3\mathrm{\phi }}{2}-\left(2\chi -1\right)\sin \frac{\mathrm{\phi }}{2}}{4\mathrm{\mu }\sqrt{2\mathrm{\pi }}}$ ,

${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\phi }}^{\left(2\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)=\frac{3\cos \frac{3\mathrm{\phi }}{2}-\left(2\chi +1\right)\cos \frac{\mathrm{\phi }}{2}}{4\mathrm{\mu }\sqrt{2\mathrm{\pi }}}$ ,

$\chi =\frac{\mathrm{\lambda }+3\mathrm{\mu }}{\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }}$ .

Построение поправок первого порядка

Для построения следующего члена асимптотического ряда (9) подставим коэффициенты Ламе (7), (8) и члены ряда (9) в исходную задачу (4), (5) и (6). Приравняем коэффициенты при ε в первой степени. С учётом поведения на бесконечности (3) заключаем, что убывающее на бесконечности поле u¹ (s, n) является решением задачи:

$\left\{\begin{array}{l}L\left(\nabla \right)u^1\left(s,n\right)=F\left(s,n\right),\left(s,n\right)\in \mathrm{\Omega }\\ {\mathrm{\sigma }}^{\left(n\right)}\left(u^1;\left(s,n\right)\right)=\mathrm{0,}\left(s,n\right)\in {\mathrm{\Gamma }}_1\end{array}\right.$ . (11)

Правая часть первого уравнения системы (11) компенсирует невязку, оставляемую полем u⁰ (s, n), и вычисляется по формуле:

$F\left(s,n\right)=-L\left(\nabla \right)u_0\left(s,n\right)=\left(f_1,f_2\right)$ , (12)

где

$\begin{array}{c}{f}_1=\left(\mathrm{\lambda }+2\mathrm{\mu }\right)n{k}^{\text{'}}\left(s\right)\frac{\partial v_0}{\partial s}-\left(\mathrm{\lambda }+2\mathrm{\mu }\right)nk\left(s\right)\frac{{\partial }^2{v}_0}{\partial s^2}-\mathrm{\mu }3nk\left(s\right)\frac{{\partial }^2{v}_0}{\partial n^2}-\mu k\left(s\right)\frac{\partial v_0}{\partial n}-\\ -\left(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }\right)k\left(s\right)\frac{\partial w_0}{\partial s}-\left(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }\right)k^{\text{'}}\left(s\right)w_0-\left(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }\right)2nk\left(s\right)\frac{{\partial }^2{w}_0}{\partial s\partial n},\end{array}$

$\begin{array}{c}{f}_2=\mathrm{\mu }n{k}^{\text{'}}\left(s\right)\frac{\partial w_0}{\partial s}-\mathrm{\mu }nk\left(s\right)\frac{{\partial }^2{w}_0}{\partial s^2}-\left(3\mathrm{\lambda }+7\mathrm{\mu }\right)nk\left(s\right)\frac{{\partial }^2{w}_0}{\partial n^2}-\\ -\left(\mathrm{\lambda }+2\mathrm{\mu }\right)k\left(s\right)\frac{\partial w_0}{\partial n}+\left(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }\right)k\left(s\right)\frac{\partial v_0}{\partial s}-\left(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }\right)2nk\left(s\right)\frac{{\partial }^2{v}_0}{\partial s\partial n}.\end{array}$

Весовые функции и интегральное представление

Определим напряжённо-деформируемое состояние среды в вершине трещины и коэффициент интенсивности напряжений. Для этого построим асимптотику, отвечающую полю u¹ (s, n) при $r\to 0$. Из общих алгоритмов построения разложения поля перемещений в окрестности вершины трещины главный член разложения имеет вид [9, 10]

$u^k\left(s,n\right)=\sqrt{r}\left(K_1^k{\mathrm{\Phi }}^{\left(1\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)+K_2^k{\mathrm{\Phi }}^{\left(2\right)}\left(\mathrm{\phi }\right)+o\left(r^{1/2}\right)\right)$ , (13)

где $r\to 0$, k = 0,1,2,...

Построить такое разложение можно с помощью специальных однородных решений задачи (11) ${\zeta }^j\left(s,n\right)$, так называемых весовых функций. Таких весовых функций две, причём каждая «обслуживает» свой коэффициент интенсивности напряжений [4, 5]:

${\zeta }^j\left(s,n\right)=r^{-1/2}{\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{j}}\left(\mathrm{\phi }\right)$ , (14)

где j =1,2.

Вектор-функция ${\mathrm{\Psi }}^j\left(\mathrm{\phi }\right)$ для данной задачи имеет вид

${\mathrm{\Psi }}_{\text{r}}^{\text{1}}\left(\mathrm{\phi }\right)=-\frac{1}{\sqrt{8\mathrm{\pi }}\left(1+\chi \right)}\left[\left[2\chi +1\right]\cos \frac{3\mathrm{\phi }}{2}-3\cos \frac{\mathrm{\phi }}{2}\right]$ ,

${\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{\phi }}^1\left(\mathrm{\phi }\right)=-\frac{1}{\sqrt{8\mathrm{\pi }}\left(1+\chi \right)}\left[-\left[2\chi -1\right]\sin \frac{3\mathrm{\phi }}{2}-3\sin \frac{\mathrm{\phi }}{2}\right]$ ,

${\mathrm{\Psi }}_{\text{r}}^{\text{2}}\left(\mathrm{\phi }\right)=-\frac{1}{\sqrt{8\mathrm{\pi }}\left(1+\chi \right)}\left[-\left[2\chi +1\right]\sin \frac{3\mathrm{\phi }}{2}+3\sin \frac{\mathrm{\phi }}{2}\right]$ ,

${\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{\phi }}^2\left(\mathrm{\phi }\right)=-\frac{1}{\sqrt{8\mathrm{\pi }}\left(1+\chi \right)}\left[-\left[2\chi -1\right]\cos \frac{3\mathrm{\phi }}{2}+3\cos \frac{\mathrm{\phi }}{2}\right]$ .

РЕЗУЛЬТАТЫ

С помощью предложенного алгоритма построили старшие члены асимптотики коэффициента интенсивности напряжений решения u(s, n) задачи (4), (5) и (6)

$K_1=K_1^0+\epsilon K_1^1+o\left(\epsilon \right)$ , (15)

$K_2=K_2^0+\epsilon K_2^1+o\left(\epsilon \right)$ (16)

с точностью, указанной в (15) и (16).

Полученные явные асимптотические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений показывают, что влияние кривизны трещины на локальное напряжённо-деформированное состояние носит интегральный характер и определяется всей историей изменения кривизны вдоль трещины, а не только её локальным значением в вершине.

В рамках поставленной задачи более высокая точность получения коэффициентов, чем в (15) и (16), не требуется. Из величины вычисленных коэффициентов получаем асимптотику перемещения в формуле (9), а значит, и оценку напряжений и деформаций вблизи вершины трещины для корабельных корпусных конструкций и сварных швов.

Построение решений следующих членов асимптотического разложения ряда (9) полностью повторяет изложенную процедуру. На n-м шаге коэффициенты будут зависеть от всех предыдущих членов разложения ряда (9), вектор-функции ${\zeta }^{\text{j}}\left(s,n\right)$, кривизны кривой и её производных.

ОБСУЖДЕНИЕ

Интерпретация полученных результатов

Формулы (15), (16) впервые дают явную зависимость поправок к КИН от интеграла от кривизны вдоль всей траектории трещины. Это принципиально отличает слабо искривлённые трещины от прямолинейных: в последнем случае (ε = 0) поправки обращаются в нуль, и КИН определяются только внешней нагрузкой.

Физический смысл интегрального характера

Интегральная зависимость означает, что «память» трещины о своей форме не локализована в вершине. Даже если вблизи вершины трещина становится прямолинейной, но на удалённых участках имела искривление, это повлияет на локальное поле напряжений у острия. Для судовых корпусных конструкций и сварных швов это важно, поскольку реальные трещины часто возникают в зонах сварных швов с переменной геометрией и остаточными напряжениями.

Сравнение с известными подходами

Классические весовые функции Бюкнера [5] для прямолинейной трещины не учитывают эффект предыстории кривизны. Предложенный метод возмущений восполняет этот пробел, оставаясь в рамках линейной теории упругости. Полученные асимптотики согласуются с общими результатами А.Б. Мовчана и соавт. [9] для задач с малыми дефектами.

Ограничения применимости

Разработанная модель справедлива при условии ε << 1, то есть для слабо искривлённых трещин. Для сильно изогнутых или ветвящихся трещин требуется иной математический аппарат. Кроме того, рассматривается только статическое нагружение; динамические эффекты (распространение трещины, ударные нагрузки) остаются за рамками работы.

Практическая значимость для судостроения

Полученные результаты могут быть использованы для уточнения критериев прочности и долговечности судовых конструкций при наличии дефектов сложной формы. В частности, они позволяют более точно прогнозировать момент начала нестабильного роста трещины в сварных швах, где кривизна дефекта может быть существенной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанный алгоритм, основанный на методе возмущений и аппарате весовых функций, позволяет с требуемой точностью оценить напряжённо-деформированное состояние в окрестности вершины слабо искривлённой трещины.

Основные выводы работы:

1. Влияние слабой кривизны трещины на коэффициенты интенсивности напряжений описывается интегральными поправками первого порядка (15), (16).
2. Эффект кривизны имеет нелокальный характер: он зависит от истории изменения кривизны вдоль всей трещины, а не только от её значения в вершине.
3. Предложенный итерационный алгоритм позволяет последовательно строить поправки любого порядка по малому параметру ε.

Полученные результаты могут быть непосредственно использованы для уточнения критериев прочности и долговечности судовых корпусных конструкций и сварных швов, содержащих дефекты сложной формы.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Я.Ю. Ионченкова — разработка методологии, проведение исследования, написание черновика рукописи; Е.К. Самаров — определение концепции, анализ данных, работа с данными, общее руководство. Все авторы одобрили рукопись (версию для публикации), а также согласились нести ответственность за все аспекты настоящей работы, гарантируя надлежащее рассмотрение и решение вопросов, связанных с точностью и добросовестностью любой её части.

Источники финансирования. Отсутствуют.

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии отношений, деятельности и интересов за последние три года, связанных с третьими лицами (коммерческими и некоммерческими организациями), интересы которых могут быть затронуты содержанием статьи.

Оригинальность. При проведении исследования и создании настоящей статьи авторы не использовали ранее полученные и опубликованные сведения (данные, текст, иллюстрации).

Доступ к данным. Все данные, полученные в настоящем исследовании, представлены в статье.

Генеративный искусственный интеллект. При создании настоящей статьи технологии генеративного искусственного интеллекта не использовали.

Рассмотрение и рецензирование. Настоящая работа подана в журнал в инициативном порядке и рассмотрена по обычной процедуре. В рецензировании участвовали один внешний рецензент, член редакционной коллегии и главный редактор издания.

ADDITIONAL INFORMATION

Author contributions: Ya.Yu. Ionchenkova, methodology, investigation, writing—original draft; E.K. Samarov, conceptualization, formal analysis, data curation, supervision. All the authors approved the version of the manuscript to be published and agreed to be accountable for all aspects of the work, ensuring that questions related to the accuracy or integrity of any part of the work are appropriately investigated and resolved.

Funding sources: No funding.

Disclosure of interests: The authors have no relationships, activities, or interests for the last three years related to for-profit or not-for-profit third parties whose interests may be affected by the content of the article.

Statement of originality: No previously obtained or published material (text, images, or data) was used in this study or article.

Data availability statement: All data obtained in this study are available in this article.

Generative AI: No generative artificial intelligence technologies were used to prepare this article.

Provenance and peer review: This paper was submitted unsolicited and reviewed following the standard procedure. The peer review process involved one external reviewer, a member of the Editorial Board, and the Editor-in-Chief.

About the authors

Yana Yu. Ionchenkova

Saint Petersburg State Marine Technical University

Author for correspondence.
Email: ionchenkova_yana@mail.ru
ORCID iD: 0009-0002-6050-5759
SPIN-code: 9326-9364

Senior lecturer at the Department of Mathematics

Russian Federation, Saint Petersburg

Eugene K. Samarov

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: omega511@mail.ru
ORCID iD: 0009-0006-7926-8553
SPIN-code: 1077-2126

Dr. Sci. (Engineering), Dean of the Faculty of Natural Sciences

Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files