БЛОЧНЫЙ ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

В данной работе представлено блочное расширение обобщенного метода минимальных невязок (GMRES) с новой технологией редукции блока. В отличие от известных на данный момент методов, блок может быть редуцирован не только, когда он выродился, но и при сходимости части невязок с требуемой точностью или в случае, когда невязки становятся линейно зависимы с заданной точностью. Кроме того, метод позволяет продолжать процесс при добавлении новых правых частей. При этом после редукций блока и добавления новых правых частей метод сохраняет компактную форму и низкую сложность. Это позволяет его использовать в случае, когда не все правые части известны заранее. А также дает возможность ограничивать максимальный размер блока, балансируя таким образом между производительностью и финальной размерностью пространства, т.е. необходимой памятью. Численные эксперименты подтверждают высокую эффективность метода по сравнению с неблочным расширением GMRES и наивным блочным его обобщением.

Об авторах

С. В Сукманюк

МГУ имени М.В. Ломоносова

Email: s.sukman@yandex.ru
Москва,Россия

Д. А Желтков

ИВМ РАН

Email: d.zhelikov@innr.ras.ru
Москва, Россия

Список литературы

  1. Stavtsev S.L., Tyryshnikov E.E. Application of mosaic-skeleton approximations for solving EFIE // Progress in Electromagnetics Research Symposium. 2009. P. 1752–1755.
  2. Buccini A., Donatelli M., Onisk L., Reichel L. Flexible iterative methods for linear systems of equations with multiple right-hand sides // Numerical Algorithms. 2025. P. 1–29.
  3. Parlett B.N. A new look at the Lanczos algorithm for solving symmetric systems of linear equations // Linear algebra and its applications. 1980. V. 29. P. 323–346.
  4. Saad Y. On the Lanczos method for solving symmetric linear systems with several right-hand sides // Mathematics of computation. 1987. V. 48. № 178. P. 651–662.
  5. Saad Y., Yeung M., Erhel J., Guyonarc'h F. A deflated version of the conjugate gradient algorithm // SIAM Journal on Scientific Computing. V. 21. № 178. P. 1909–1926.
  6. Simoncini V., Gallopoulos E. An iterative method for nonsymmetric systems with multiple right-hand sides // SIAM Journal on Scientific Computing. 1995. V. 16. № 4. P. 917–933.
  7. Nachtiqal N.M., Reichel L., Trefethen L.N. A hybrid GMRES algorithm for nonsymmetric linear systems // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 1992. V. 13. № 3. P. 796–825.
  8. Smith C.F. The performance of preconditioned iterative methods in computational electromagnetics. University of Illinois at Urbana-Champaign, 1987.
  9. Chan T.F., Wan W.L. Analysis of projection methods for solving linear systems with multiple right-hand sides // SIAM Journal on Scientific Computing. 1997. V. 18. № 6. P. 1698–1721.
  10. Lingen F.J. A Generalised Conjugate Residual method for the solution of non-symmetric systems of equations with multiple right-hand sides // International journal for numerical methods in engineering. 1999. V. 44. № 5. P. 641–656.
  11. Sukmanyuk S., Zhelikov D., Yaliakhmetov B. Generalized minimal residual method for systems with multiple right-hand sides // arXiv preprint arXiv:2408.05513. 2024.
  12. Morgan R.B. GMRES with deflated restarting // SIAM Journal on Scientific Computing. 2002. V. 24. № 1. P. 20–37.
  13. Giraud L., Gratton S., Pinel X., Vasseur X. Flexible GMRES with deflated restarting // SIAM Journal on Scientific Computing. 2010. V. 32. № 4. P. 1858–1878.
  14. Morgan R.B. A restarted GMRES method augmented with eigenvectors // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 1995. V. 16. № 4. P. 1154–1171.
  15. Morgan R.B. Implicitly restarted GMRES and Arnoldi methods for nonsymmetric systems of equations // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2000. V. 21. № 4. P. 1112-1135.
  16. Chapman A., Saad Y. Deflated and augmented Krylov subspace techniques // Numerical linear algebra with applications. 1997. V. 4. № 1. P. 43–66.
  17. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM Journal on scientific and statistical computing. 1986. V. 7. № 3. P. 856–869.
  18. Eisenstat S.C., Elman H.C., Schultz M.H. Variational iterative methods for nonsymmetric systems of linear equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1983. V. 20. № 2. P. 345–357.
  19. Simoncini V., Gallopoulos E. Convergence properties of block GMRES and matrix polynomials // Linear Algebra and its Applications. 1996. V. 247. P. 97–119.
  20. Vital B. Etude de quelques méthodes de resolution de problemes lineaires de grande taille sur multiprocesseur. Rennes 1. 1990.
  21. Cullum J., Willoughby R.A. A survey of Lanczos procedures for very large real ‘symmetric’ eigenvalue problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1985. V. 12. P. 37–60.
  22. Cullum J., Zhang T. Two-sided Arnoldi and nonsymmetric Lanczos algorithms // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2002. V. 24. № 2. P. 303–319.
  23. Robbe M., Sadkane M. Exact and inexact breakdowns in the block GMRES method // Linear algebra and its applications. 2006. V. 419. № 1. P. 265–285.
  24. Gurknecht M.H. Block Krylov space methods for linear systems with multiple right-hand sides: an introduction // Modern mathematical models, methods and algorithms for real world systems. Anshan, 2007. P. 420–447.
  25. Arnoldi W.E. The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem // Quarterly of applied mathematics. 1951. V. 9. № 1. P. 17–29.
  26. Chan T.F. Rank revealing QR factorizations // Linear algebra and its applications. 1987. V. 88. P. 67–82.
  27. Chandrasekaran S., Ipsen I.C.F. On rank-revealing factorisations // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 1994. V. 15. № 2. P. 592–622.
  28. Bischof C.H., Hansen P.C. Structure-preserving and rank-revealing QR-factorizations // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1991. V. 12. № 6. P. 1332–1350.
  29. Bischof C.H., Quintana-Ort G. Computing rank-revealing QR factorizations of dense matrices // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). 1998. V. 24. № 2. P. 226–253.
  30. Bischof C.H., Hansen P.C. A block algorithm for computing rank-revealing QR factorizations // Numerical Algorithms. 1992. V. 2. № 3. P. 371–391.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025