Конформное отображение Z-образной области
- Авторы: Скороходов С.Л.1
-
Учреждения:
- ФИЦ ИУ РАН
- Выпуск: Том 63, № 12 (2023)
- Страницы: 2131-2154
- Раздел: ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
- URL: https://vietnamjournal.ru/0044-4669/article/view/664938
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466923120256
- EDN: https://elibrary.ru/BWPFIE
- ID: 664938
Цитировать
Аннотация
Для задачи конформного отображения полуплоскости на \(\mathbb{Z}\)-образную область с произвольной геометрией разработан метод эффективного нахождения параметров интеграла Кристоффеля–Шварца, т.е. прообразов вершин и предынтегрального множителя. Особое внимание уделено случаю кроудинга прообразов, когда традиционные методы интегрирования сталкиваются со значительными трудностями. Для этого вводится понятие кластера, определяются его центр и все подынтегральные биномы с прообразами из этого кластера разлагаются в быстросходящийся ряд по однородной схеме. Возникающие интегралы далее сводятся к одинарному или двойному ряду по гипергеометрическим функциям Гаусса \(F(a,b;c;q)\). Использование формул аналитического продолжения для \(F(a,b;c;q)\) в окрестность точки \(q = 1\) и численно устойчивых рекуррентных соотношений позволило обеспечить быструю сходимость полученных разложений. Построенные разложения оказываются также весьма эффективными при выборе начальных приближений прообразов в итерационном методе Ньютона. Использование старших членов этих разложений позволяет выразить приближения для прообразов в явном виде через элементарные функции, а последующие итерации обеспечивают быструю сходимость алгоритма. После нахождения параметров в интеграле искомое отображение строится в виде комбинации степенных разложений в прообразах, регулярных разложений в прообразе центра симметрии, в виде ряда Лорана в полукольце и в виде специальных рядов в окрестности прообразов торцевых отрезков. Численные результаты показали высокую эффективность разработанного метода, особенно в случае сильного кроудинга прообразов. Библ. 30. Фиг. 7.
Об авторах
С. Л. Скороходов
ФИЦ ИУ РАН
Автор, ответственный за переписку.
Email: sskorokhodov@gmail.com
Россия, 119333, Москва, ул. Вавилова, 44
Список литературы
- Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962.
- Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
- Gaier D. Konstructive Methoden der konformen Abbildung. Springer Tracts in Natural Philosophy. V. 3. Berlin: Springer–Verlag, 1964.
- Trefethen L.N. Numerical computation of the Schwarz–Christoffel transformation // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1980. V. 1. P. 82–102.
- Trefethen L.N., Ed. Numerical Conformal Mapping, Amsterdam: North-Holland, 1986.
- Driscoll T.A. A MATLAB toolbox for Schwarz–Christoffel mapping // ACM Trans. Math. Soft. 1996. V. 22. P. 168–186.
- Henrici P. Applied and computational complex analysis. V. 3: N.-Y.–London, Sidney, Toronto: Jonh Willey & Sons, 1991.
- Driscoll T.A., Trefethen L.N. Schwarz–Christoffel mapping, Vol. 8 of Cambridge Monographs on Applied and Comput. Math. Cambridge: Cambridge Univer. Press, 2002.
- Trefethen L.N., Driscoll T.A. Schwarz–Christoffel transformation. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.
- Zemach C. A conformal map formula for difficult cases // J. Comput. Appl. Math. 1986. V. 14. P. 207–215.
- Krikeles B.C., Rubin R.L. On the crowding of parameters associated with Schwarz–Christoffel transformation // Appl. Math. Comput. 1988. V. 28. № 4. P. 297–308.
- Wegmann R. An estimate for crowding in conformal mapping to elongated regions // Complex Variables. 1992. V. 18. P. 193–199.
- Безродных С.И., Власов В.И. Задача Римана–Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединения в плазме // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 3. С. 277–312.
- Gautschi W. A Survey of Gauss–Christoffel quadrature formulae. Christoffel E.B. The Influence of His Work on Mathematics and the Physical Sciences, Ed. P.L. Butzer, F. Feher, Birkhauser Basel, Basel, 1981, 72–147.
- Боголюбский А.И., Скороходов С.Л. Разработка обобщенных квадратур Гаусса–Якоби с помощью методов компьютерной алгебры // Программирование. 2005. Т. 31. № 2. С. 72–80.
- Hale N., Townsend A. Fast and accurate computation of Gauss–Legendre and Gauss–Jacobi quadrature nodes and weights // SIAM J. Sci. Comput. 2013. V. 35. № 2. P. A652–A674.
- Gil A., Segura J., Temme N.M. Fast and reliable high-accuracy computation of Gauss–Jacobi quadrature // N-umer. Algor. 2021. V. 87. P. 1391–1419. https://doi.org/10.1007/s11075-020-01012-6
- Wegmann R. Methods for numerical conformal mapping. – In: Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory, V. 2. Ed. by R. Kühnau. Amsterdam: Elsevier, 2005, p. 351–477.
- Papamichael N., Stylianopoulos N.S. Numerical conformal mapping: domain decomposition and the mapping of quadrilaterals. New Jersey–London–Singapore: World Scientific, 2010.
- Безродных С.И. Функция Лауричеллы и конформное отображение многоугольников // Матем. заметки. 2022. Т. 112. Вып. 4. С. 500–520.
- Безродных С.И. Гипергеометрическая функция Лауричеллы и некоторые приложения // Успехи матем. наук. 2018. Т. 73. Bып. 6 (444). С. 3–94.
- Безродных С.И. Формулы для вычисления функции Лауричеллы в ситуации кроудинга переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 12. С. 2054–2076.
- Безродных С.И. Формулы для вычисления интегралов типа Эйлера и их приложение к задаче построения конформного отображения многоугольников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 11. С. 1763–1798.
- Власов В.И., Скороходов С.Л. Конформное отображение -образной области в аналитическом виде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 12. С. 1943–1980.
- Бабакова О.И. О кручении стержня с -образным сечением // Докл. АН УССР. 1954. № 5. С. 319–323 (на укр.).
- Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. М.: ВЦ АН СССР, 1987.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973.
- Gautschi W. Computational aspects of three-term recurrence relations // SIAM Rev. 1967. V. 9. № 1. P. 24–82.
- Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.
- Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
Дополнительные файлы
